Método dos gradientes e gradientes conjugados

Páginas: 2 (350 palavras) Publicado: 6 de maio de 2011
1- Teoria

Tanto o método dos gradientes como o método dos gradientes conjugados são métodos iterativos para solução de sistemas lineares. Para compreendê-los é necessário conhecer o processo derelaxação explicado resumidamente a seguir:

Dado um sistema linear Ax + b = 0 , onde A é positiva definida (para todos menores principais Ak , det(Ak) > 0) e, x e b são vetores. Se v é umaaproximação da solução então:

r = Av + b
é chamado resíduo.

O objetivo é fazer com que o resíduo se anule. Para isso, tomamos a função quadrática :

F(v) = ½ (Av,v) + (b,v)

Apósalgumas operações envolvendo esta função, concluímos que Av + b = 0 = grad F (v). Mas, desde que Av + b = r , podemos concluir que grad F (v) = r. Portanto, o objetivo é obter grad F (v) = 0, poisassim teremos r = 0.
O príncipio básico do processo de relaxação consiste em escolher uma direção p e variar v nessa direção até F(v) atingir o ponto de mínimo, encontrando assim, a solução dosistema.
Um parâmetro t é selecionado de tal forma que F é mínimo. Assim :

a) Método dos Gradientes

Dado um sistema com a matriz A positiva definida, construímos a função quadrática F(v). Paraeste método a direção p de relaxação é definido por:

E temos que:

Neste processo os resíduos consecutivos são ortogonais. Assim temos que:

Concluindo, dados v(0) e Е (precisão), seguimos osseguintes passos para a implementação do algoritmo:

caso contrário, b) .

b) Método dos Gradientes Conjugados

Dada a matriz A positiva definida , x e y são direções conjugadasse (Ax, y) = (x, Ay) = 0 .
Possuindo o valor de v(0) , inicialmente calculamos r(0) = Av(0) + b e fazemos:

onde

então:

Considerando a passagem do passo k-1 para o passo k , tomamos p(k)tal que p(k) e p(k-1) sejam direções conjugadas. Assim:

onde αk-1 é determinado por :

Agora que é possível determinar a direção p(k) , encontramos o ponto de mínimo:

onde

Com esses...
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