Método bisseção e newton

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Cálculo Numérico |
Trabalho 01 - |
Conteúdo
1. INTRODUÇÃO 2
2. LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES 2
3. MÉTODO GRÁFICO 2
4. REFINAMENTO DE RAÍZES 2
5. ESTAÇÃO – A 2
MÉTODO DE NEWTON 2
6. ESTAÇÃO – A 4
MÉTODO DA BISSECÇÃO 4
7. ESTAÇÃO - B 6
MÉTODO DE NEWTON 6
8. ESTAÇÃO – B 7
MÉTODO DA BISSECÇÃO 7
9. CONCLUSÃO 10

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2013
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1. INTRODUÇÃO

O problema foiquestionado para que se encontre as profundidades de um canal, correspondente a duas estações A e B, foi dado fluxo, o coeficiente de atrito, inclinação do canal e área e a tabela correspondente a estes dados. Como também a equação, sabendo-se que a mesma tem uma só raiz positiva. Para tal, usamos para a localização das raízes método gráfico e tabelamento e para o refinamento os Métodos de Newtone Bissecção

2. LOCALIZAÇÃO DE RAÍZES

Para a localização ou isolamento que é ter conhecimento do intervalo que contém a raiz. Fizemos uma análise teórica e gráfica da f(x). Na análise teórica, usamos o teorema de Bolzano ou do Anulamento:
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos, ou seja, f(a)f(b) < 0. Então existe pelo menos um 0 em (a,b)tal que f(0)= 0.

3. MÉTODO GRÁFICO
As funções transcendentes podem ter raízes reais e complexas. Entretanto, diferentemente das funções polinomiais, não se pode determinar nem se a função possui raiz real e nem a sua quantidade.
O método gráfico é um procedimento inicial adotado para estimar as raízes e como a determinação da raiz com precisão não pode ser feita com este método, deve-seutilizar um método numérico para refinar a solução, isto é, melhorar a precisão do valor calculado da raiz.

4. REFINAMENTO DE RAÍZES
Após escolher as aproximações da localização ou isolamento das raízes, melhorá-las para obter uma aproximação para a raiz em uma precisão pré-determinada

MÉTODO DE NEWTON
É um método numérico iterativo para cálculo de raiz de uma função f(x). A fórmula para o cálculoiterativo pode ser obtida através da aproximação de uma função f(x) em torno de um ponto xô.
É uma das técnicas mais usadas para se determinar as raízes de equações não lineares.

MÉTODO DA BISSECÇÃO
É um método conceitualmente simples e baseia-se na idéia de “cercar” a raiz por dois valores: um à esquerda da raiz e outro à direita, formando um intervalo que vai continuamente reduzido até que alargura final do intervalo seja tão pequena quanto o erro absoluto da raiz. A redução contínua da largura do intervalo é feita dividindo-se o intervalo em dois e definindo um valor médio.

5. ESTAÇÃO – A
MÉTODO DE NEWTON

MÉTODO GRAFICO

Função dada
1,490,03032050,000132y5-4 1333y2-4 133320 y-1333202=0

Resolução:

392053y59410548y2-188210960 y-941054800=0

Usando a fórmula iterativa de Newton:Yn+1=Yn-F(Yn)/F`(Yn)

Substituindo os valores:

Ou seja, nosso Xo pode ser iniciado com o ponto 5.5.

TABELAMENTO

Partindo do Xo inicial(ponto 5.5), obtemos a tabela ::

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Tabela 1
Iteração | xi | f(xi) | df(i) | Erro |
------ | 5.50000 | -287741585.15185 | 1502038986.40741 | ----- |
0.00000000100000 | 0.00000000569157 | 0.02444036303955 | 1.76170653678994 | 0.00000000003366 |0.00000000200000 | 0.00000000567769 | 0.00013696988596 | 1.74198483535559 | 0.00000000000244 |

RESULTADO
Paragem com a raiz positiva aproximada do eixo X.
X=5.677694

Erro aproximado é: 0.002443442305
6. ESTAÇÃO – A
MÉTODO DA BISSECÇÃO
MÉTODO GRAFICO

Equação :
392053y5-9410548y2-188210960y-941054800=0

g(y)=1,490,03032050,000132y5;

h(y)= 4 1333y2+4 133320 y-1333202;

Ográfico da função, como podemos observar há uma única raiz positiva, situada no intervalo do eixo x, entre os pontos(5.0;6.0).
TABELAMENTO


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Iteração | a | b | Raiz | f(a) | f(b) | f(raiz) | erro |
1 | 0.00000 | 8.00000 | 4.00000 | -941054800.00000 | 9797782191.05186 | -1443004916.02963 | 8.00000 |
2 | 4.00000 | 8.00000 | 6.00000 | -1443004916.02963...
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