Luan

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

Introdução: A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram osfranceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
 
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|Pascal |Fermat |Tartaglia |

A Análise Combinatória visa desenvolvermétodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial. Seja “n” um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ....4.3.2.1 para n ≥ 2.

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 3! = 3.2.1 = 6
Perceba que 7! = 7.6.5.4!, ou que
6! = 6.5.4.3!, e assim sucessivamente.
Casos especiais:
0! = 1
1! = 1

Princípio fundamental da contagem – PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapapode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplos:

01. O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-1234. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada umdos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?

02. No Brasil, antes daalteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado neste sistema?

Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.10.10.10.10 que resulta em 6.760.000.
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejamlicenciados, aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos.

03. Com base no princípio apresentamos, a seguir, outro método para se determinar o número de anagramas formados com a palavra BLOG.

Há quatro (4) maneiras para a escolha da primeira letra;
Para cada escolha da primeira letra, há três (3) possibilidades para a escolha da segunda;
Para cada escolha do primeiro par de letras, há duas (2)...
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