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Cálculo 1
S. Friedli
Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Minas Gerais

Versão 1.0
16 de fevereiro de 2013

Apostila em acesso livre em

www.mat.ufmg.br/~sacha.

ii
(16 de fevereiro de 2013). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br

Versão 1.0

Sumário
1 Fundamentos
1.1 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Equações do primeiro e segundo grau . . . . . . . . . . . . . . .

3
3 4 6 7 7 10 11 14 15 15 16 19

Ordem e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inequações e sinal

O plano cartesiano1.2.1 1.2.2 Retas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Medir ângulos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Funções
2.1 Denição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.2 Limitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
21 23 24 27 29 30 32 34 35 38 40 40

Gráco . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Potências inteiras:

xp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 2.4

Montar funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composição, contradomínio e imagem 2.4.1 2.4.2 2.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bijeção, função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inversos das potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Exponencial eLogaritmo
3.1 3.2 3.3 3.4 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A base

45
46 51 54 56

e a P; UIV:::

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funções trigonométricas hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

SUMÁRIO

4

Limites4.1 Limites 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 4.4

limx3¦I f @xA

59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 62 64 65 69 72 73 75 75 76 78 79 80 82 83 84

A denição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites innitos Quocientes e diferenças de números grandes . . . . . . . . . . . .

Limites laterais:Limites

Indeterminações do tipo   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 4.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H H @xChAn  xn O limite limh3H sen x h . . . O limite limx3H
x

limx3a¦ f @xA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limx3a f @xA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Limites laterais innitos, assíntotas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . Mudar de variável Continuidade 4.8.1

I O limite e a limx3I I C x

. . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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