Logica

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Módulo 1 - Aula 1: Noções de Lógica
1. Proposições: Definição Ex: Nove é maior do que quatro. Quatro vezes três é igual a oito.

(9 > 4 ) (4 x 3 = 8)

OBS: Não são consideradas proposições. Ex: Três vezes sete mais dois. (3 x 7 + 2) O triplo de um número mais um é igual a doze. (3x + 1 = 12) 1.1. Negação: Definição Ex: p: Oito é diferente de cinco. ~p: Oito é igual a 5. 1.1.1. TabelaVerdade:
p ~p V F F V

(8 ≠ 5 ) (8 = 5)

2. Proposições compostas: 2.1. Conectivo E ( ∧ ) ou ( ∩ ) ou ( . ): Ex.1: p: 2 > 1 q: 2 ≠ 0 p ∧ q: 2 > 1 e 2 ≠ 0 Ex.2: p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a. q: um quadrado de lado a tem área a2. p ∧ q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a2.

OBS: A conjunção p ∧ q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras. 2.1.1.Tabela Verdade:
p V V F F qV F V F p∧ q V F F F

2.2. Conectivo OU ( ∨ ) ou ( ∪ ) ou (+): Ex.1: p: 5 > 2 q: 5 > 4 p ∨ q: 5 > 2 ou 5 > 4 Ex.2: p: 15 é um número primo q: 15 é um número composto p ∨ q: 15 é um número primo ou um número composto

OBS: A disjunção p ∨ q será verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q for verdadeira. 2.2.1. Tabela Verdade:
p V V F F q V F V F p∨ q V V V F

3. Condicionais: 3.1. Se... Então ... ( ⇒ ) Ao se utilizar o condicional ⇒ entre duas proposições p e q, obtém-se uma nova proposição p ⇒ q, que se lê: "se p, então q", p é condição necessária para q", "q é condição suficiente para p". Ex.1: p: cinco é divisor de 10 (5 | 10) q: dez é divisor de cinqüenta (10 | 50) p ⇒ q: se cinco é divisor de dez, então dez é divisor de cinqüenta.

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Ex.2: p: 5 é menor que 2 q: 2 é número par p ⇒ q: se 5 é menor que 2, então 2 é número par

OBS: O condicional p ⇒ q é falso somente quando p é verdadeiro e q é falso, ou seja, nunca uma verdade implica uma falsidade. 3.1.1. Tabela Verdade:
p V V F F q V F V F p⇒ q V F V V

3.2. Se ... e somente se ... ( ⇔ ) Ao se utilizar o condicional ⇔ entre duasproposições p e q, obtém-se uma nova preposição, p ⇔ q, que se lê: "p, se e somente se, q", "p é condição necessária e suficiente para q", "q é condição necessária e suficiente para p" ou "se p, então q e se q então p". Ex.1: p: 6 = 12 / 2 q: 3 . 6 = 18 p ⇔ q: 6 = 12 / 2 ⇔ 3 . 6 = 18 Ex.2: p: 4 < 7 q: 4 . 9 < 7 . 9 p ⇔ q: 4 < 7 ⇔ 4 . 9 < 7 . 9

OBS: O condicional ⇔ é verdadeiro somente se p e q são ambasverdadeiras ou ambas falsas. 3.2.1. Tabela Verdade:
p V V F F q V F V F p ⇔ q V F F V

4. Tautologia: Seja v uma proposição qualquer composta, diz-se que v é uma tautologia quando v tem valor lógico V (verdadeiro) independente dos valores lógicos das entradas. Ex: p q p∧q ~p ~q ~( p ∧ q) ~p ∨ ~q ~( p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q

V V F F

V F V F

V F F F

F V V V

F F V V

F V F V

F V V V

VV V V

5. Implicação lógica: Diz-se que entre duas proposições p e q "p implica q" se na tabela de p e q não ocorre V e F em nenhuma das linhas. Se p implica q, indica-se p ⇒ q. OBS: i) Note que p implica q quando o condicional p ⇒ q é verdadeiro ii) Todo teorema matemático é uma implicação da forma: hipótese ⇒ tese iii) Ou seja, demonstrar um teorema é o mesmo que mostrar que não ocorre o casohipótese verdadeira e tese falsa. 6. Equivalência lógica: Diz-se que p equivale a q se p e q têm tabelas verdades iguais. Indica-se por p ⇔ q. OBS: i) Note que p equivale a q se o condicional p ⇔ q for verdadeiro. ii) Todo teorema cujo recíproco é verdadeiro é uma equivalência. 7. Quantificando sentenças abertas: Nas expressões: a) x + 2 = 9 e b) x > 12

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André Luiz Arruda Marques Módulo 1 - Aula 1: Noções de Lógica
Existe uma variável x e o valor lógico da expressão depende da mesma. Expressões deste tipo chamam-se funções proporcionais ou sentenças abertas. Ao se atribuir valores a esta variável obtém-se proposições que podem ser verdadeiras ou falsas. Utilizando o que se chama de quantificador universal ( ∀ ) pode-se transformar estas sentenças abertas em proposições....
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