Logica

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givCálculo Proposicional

Prof. Ruy Alexandre Generoso

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
PROPOSIÇÃO: Sentenças declarativas afirmativas da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. Ou seja, Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. · Buenos Aires é a capital do Brasil. · A neve é branca. · Matemática é uma ciência.

CÁLCULOPROPOSICIONAL

Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações a sobre de proposições, Estas cálculo, um chamadas obedecem operações regras lógicas.

denominado CÁLCULO PROPOSICIONAL.

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Símbolos VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p, q, r, s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). Exemplos: A lua é quadrada: p A neve é branca: q

CÁLCULOPROPOSICIONAL Proposições Simples

São proposições unitárias que não estão acompanhadas de outras proposições.

Exemplos: Aristóteles era grego. Lógica não é difícil.

CÁLCULO PROPOSICIONAL Proposições Compostas

Quando duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença. Exemplos: Tiago é médico e Filipe é engenheiro. Ana trabalha ou Carlos descansa. Se choveramanhã, então não saio.

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Conectivos
CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos: ∧ : ∨ : →: ↔: ~ : e ou se...então se e somente se não

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Conectivos

Operação Conjunção Disjunção Negação Condicional Bicondicional e ou não

Conectivo

Símbolo ∧ ∨ ¬ ou∼ → ↔

se ... então se e somente se

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Exemplos
A lua é quadrada e a neve é branca: p ∧ q (p e q são chamados conjuntos) A lua é quadrada ou a neve é branca: p ∨ q (p e q são chamados disjuntos) Se a lua é quadrada então a neve é branca: p → q (p é o antecedente e q o conseqüente) A lua é quadrada se e somente se a neve é branca: p ↔ q A lua não é quadrada: ~p CÁLCULO PROPOSICIONAL: Parênteses
SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) - parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos; Exemplos: · Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada: ((p ∧ q) → ~ p) · A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca: ((~ p) ↔ q)

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Princípios
A lógica clássica é governada por princípios que podem ser formulados comosegue:
Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa. Princípio da não Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não existe uma terceira hipótese. Dadas duas proposiçõescontraditórias, uma delas é verdadeira.

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Negação

Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Negação
Pode-se expressar a negação: Antepondo-se o advérbio “não” ao verbo: p: O sol é uma estrela ~p: O sol não é uma estrelaAntepondo-se expressões tais como “não é verdade que” ou “é falso que”: q: Carlos é mecânico ~q: não é verdade que Carlos é mecânico ~q: é falso que Carlos é mecânico

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Negação Proposição Simples A negação de “todos os homens são cruzeirenses” é “nem todos os homens são cruzeirenses” e “Nenhum homem é atleticano” “Algum homem é atleticano” é

CÁLCULO PROPOSICIONAL:Negação Proposição Composta: Conjuntiva ~(p e q) • Nega-se o primeiro termo (~p); • Nega-se o segundo termo (~q); • Troca-se e por ou. Logo ~(p e q) = ~p ou ~q
ou

~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q

CÁLCULO PROPOSICIONAL: Negação Proposição Composta: Conjuntiva
Exemplo: Tiago é médico e Filipe é engenheiro. (p ∧ q)
Negando:

Não é verdade que Tiago é médico e Filipe é engenheiro. ~ (p ∧ q)

Logo:...
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