Logica de predicados

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INTRODUÇÃO

Há vários tipos de argumentos que não podem ser adequadamente formalizados em lógica proposicional. Como exemplo, considere o argumento a seguir:
Sócrates é homem.
Todo homem é mortal.
Logo, Sócrates é mortal.
Intuitivamente, podemos ver que esse argumento é válido. No entanto, usando lógica proposicional, a formalização desse argumento resulta em {p, q} |= r e não há comomostrar que a conclusão r é uma conseqüência lógica das premissas p e q. Isso acontece porque a validade desse argumento depende do significado da palavra todo, que não pode ser expresso na lógica proposicional. De fato, para tratar argumentos desse tipo precisamos da lógica de predicados.

1. Sintaxe da lógica de predicados
Alem dos conectivos lógicos (¬, /\, /, ->), as formulas bem-formadas dalógica de predicados são compostas por objetos, predicados, variáveis e quantificadores.

1.1 Objetos e predicados
Na lógica de predicados, a noção de objeto é usada num sentido bastante amplo. Objetos podem ser concretos (e.g., esse livro, a lua), abstratos (e.g., o conjunto vazio, a paz), ou fictícios (e.g., unicórnio, Saci Pererê). Objetos podem ainda ser atômicos ou compostos (e.g., um tecladoé composto de teclas). Em suma, um objeto pode ser qualquer coisa a respeito da qual precisamos dizer algo. Por convenção, nomes de objetos são escritos com inicial minúscula e assumimos que nomes diferentes denotam objetos diferentes.

1.2 Variáveis e quantificadores
Grande parte da expressividade da lógica de predicados e devida ao uso dos conectivos lógicos, que nos permitem formar sentençascomplexas a partir de sentenças mais simples. Por exemplo, podemos dizer que o bloco “A” está sobre o bloco “B” e que este está sobre a mesa escrevendo:
sobre(a, b) ^ sobre(b, mesa)
Entretanto, o que realmente torna a lógica de predicados mais expressiva que a lógica proposicional é a noção de variáveis e quantificadores:
- usando variáveis, podemos estabelecer fatos a respeito de objetos deum determinado contexto de discurso, sem ter que nomear explicitamente esses objetos (por convenção, nomes de variáveis são escritos com inicial maiúscula);
- usando o quantificador universal (∀), podemos estabelecer fatos a respeito de todos os objetos de um contexto, sem termos que enumerar explicitamente todos eles; e, usando o quantificador existencial (Ǝ) podemos estabelecer a existência deum objeto sem ter que identificar esse objeto explicitamente.
Por exemplo, podemos dizer que todo bloco esta sobre alguma coisa (bloco ou mesa) escrevendo:
∀X[bloco(X) → ƎY [sobre(X; Y )]]

2. Semântica da lógica de predicados
O significado das formulas na lógica de predicados depende da semântica dos conectivos e da interpretação de objetos e predicados. Uma interpretação na lógica depredicados consiste de:
- um conjunto D ≠ Ǿ, denominado domínio da interpretação;
- um mapeamento que associa cada objeto a um elemento fixo em D;
- um mapeamento que associa cada predicado a uma relação em D.
O quantificador ∀ denota uma conjunção e o quantificador Ǝ denota uma disjunção. Por exemplo, para D = { a, b, c} , a formula ∀X[colorido(X)] denota a conjunção colorido(a) ^ colorido(b) ^colorido(c) e a formula ƎX[cor(X, azul)] denota a disjunção cor(a, azul) / cor(b, azul) / cor(c, azul). Alem disso, como ¬(α /\ β) ≡ (¬α / ¬β), é fácil ver que ¬∀X[cor(X, azul)] ≡ ƎX[¬cor(X, azul)]. De modo análogo, concluímos que ¬ƎX[cor(X, roxo)] ≡ ∀X[¬cor(X, roxo)].






3. Formalização de argumentos
Usando a lógica de predicados, o argumento que apresentamos inicialmente
Sócrates éhomem.
Todo homem é mortal.
Logo, Sócrates é mortal.

pode ser formalizado como:
{ homem(socrates), ∀X[homem(X) → mortal(X)] } |= mortal(socrates)
3.1 Enunciados categóricos
Para facilitar a formalização de argumentos na lógica de predicados, destacamos quatro tipos de sentenças de especial interesse, denominadas enunciados categóricas.




- Universal afirmativo: são...
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