Lista4

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
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INMA - Instituto de Matem´atica
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Lista 1 - Vetores e Geometria Anal´ıtica
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Prof Dr. Bruno Dias Amaro
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1. Sejam A = (−1, 2, 3), M = (−1, 3, 2) e N = (1, 1, 3). O triˆangulo ABC tem ˆangulo A = 90◦ e B = 30◦ e os v´ertices B e C pertencem `a reta M N . Encontre os v´ertices B e C.
2. Sejam u = (−1, 1, 1) e v = (2, 0, 1), Encontre os vetores w que s˜ao paralelos ao plano determinado por 0, u e v, perpendiculares a v e u · w = 7.
3. Dados os pontos A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de P B seja o triplo do comprtimento de P A.
4. S˜ao dados os pontos A = (3, 6, −7), B = (−5, 2, 3) e C = (4, −7, −6).
a) Escreva equa¸co˜es vetorial e param´etricas para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha a sua forma sim´etrica (se existir). O ponto D = (3, 1, 4) pertence a` reta?
b) Verifique que os pontos A, B, e C s˜ao v´ertices de um triˆangulo.
c) Escreva equa¸c˜oes param´etricas da mediana relativa ao v´ertice C do triˆangulo.
5. Escreva equa¸c˜oes param´etricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0, −3) e
1−x
3y z+3 =
=
.
5
4
6
b) ´e paralela a` reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3).
a) ´e paralela a` reta

c) Passe para a forma sim´etrica, quando for poss´ıvel, as equa¸co˜es obtidas nos itens anteriores.
6. Verifique se r = s nos casos abaixo


 x=1−λ
a) r : y = 2 + 2λ (λ ∈ R)

 z =1+λ
b) r :

x + y + 2z = 7
2x + y = 6


1

 x = 1 − 2µ s: y = 2 + µ (µ ∈ R)

 z = 1 + 21 µ s: 1

4x + 3y + 4z = 12 x − 2z = 3

7. Obtenhas as equa¸co˜es na forma planar para as seguintes retas:


2


x
=
1
−
λ

 x = 1 − 3µ r: s: y = −3 + µ (µ ∈ R) y = 2 + 3λ (λ ∈ R)



 z = −5 + 4µ z =3+λ
√
8. Dados A = (0, 2, 1) e r : X = (0, 2, −2) + λ(1, −1, 2), encontre os pontos de r que distam 3
√
de A. Em