Lista

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Cálculo III 2a Lista de Exercícios 2013.1 1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais ao lado. Funções: a) y = C e 3x b) y = C cosx c) y = C1 cos3x + C2 sen3x. d) y = Cx3 e) y = ex + C1x + C2 Equações Diferenciais: y´+3y = 0 y´ + y tgx = 0 y´´ + 9y = 0 xy´= y y´´ = ex

2. Resolva as seguintes equações diferenciais a variáveis separáveis: dy 2x  xy 2 h)  a) y´+ y = 1 dx 4y  x 2 y b) x y´= 3y i) tg(x) y´ = y c) y´= 2xy dy  t  t3  0 dt di i e) 2   4 dt 2

n)

du  2  2u  t  tu dt

0) 2y(x+1)dy = x dx
 x 4  2x 2  1  y  y 3   0 p) y'   y  x    q) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0

j) tg(x) sen2(y) dx + cos2(x) cotg(y) dy = 0

d) e y

k) 3 ex tg(y) dx + (1 – ex) sec2(y) dy = 0 l) x y y´= 1  x2 m) ex dy = 2x dx

r) y´ = x – 1 + xy  y s) (x + 1 ) dy – ( x + 6 ) dx = 0 t) x2 y´  yx2 = y

y dy  sen x 2 dx  0 x dy g)  exy dx

f)

 

3. Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem as condições iniciais. d) y'senx   ylny, yπ 2  e a) xy´= 2y y(  2) = 1 b) (1 + ex)y y´= ex, y(0) = 1 dy e) 1  x 2  y 3  0, y1  1 dx c) (xy2 + x) dx + ( x2y – y ) dy = 0; y(2) =1 f) ysenx dx  y 2  1 e cos x dy  0, yπ 2  1





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4. Verifique se as equações a seguir são exatas ou não exatas. Para as equações exatas, encontre a solução. a) y   c)
2 x  4y 2y  2 x

b) (2xy2 + 2y ) + ( 2x2y + 2x ) y´ = 0

dy 2ysenx  e x seny  dx e x cos y  2 cos x

d) (ex seny +3y)dx  ( 3x  ex seny ) dy = 0
y  f)   6x dx (ln x  2 )dy  0 x  h) (xex + y) dx + ( x + yey) dy = 0;

e) ( xlny + xy ) dx + ( y lnx + xy ) dy = 0 g) (3x2 2xy + 2 ) dx + (6y2 –x2 +3 ) dy = 0

5. Encontre o valor da constante b para que as equações a seguir sejam exatas e resolva a equação com o valor de b encontrado a) (xy2 + bx2y ) dx + ( x + y)x2 dy = 0; b) ( ye2xy + x ) dx + bxe2xy dy = 0 6. Mostre que as