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Função Quadrática ou Função do 2o Grau

1.Definição

Sendo a, b e c números reais, a função:

f: IR  IR x  y = ax2 + bx + c é denominada Função do 2o Grau ou Função Quadrática.

2. Gráfico no Sistema Cartesiano

Toda função do 2o Grau é representada graficamente por uma curva chamada Parábola, cujas características serão analisadas a seguir.

2.1. Concavidade

A concavidade está voltada para cima ou para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a:

2.2. Interseção com os Eixos Coordenados

Interseção com o eixo Oy: Fazendo x = 0, temos:

y = a.02 + b.0 + c  y = c

Interseção com o eixo Ox: Fazendo f(x) = 0, temos:

ax2 + bx + c = 0

Resolvendo a equação, com o uso da fórmula de Báskara, obtemos:

, onde  = b2 – 4ac .

Dependendo do sinal de , podemos ter:

a)  < 0  não existem raízes reais. O gráfico não corta o eixo Ox.

b)  = 0  x1 = x2 =  2 raízes reais e idênticas. O gráfico corta o eixo Ox em um único ponto.

c)  > 0  2 raízes reais e distintas. O gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.

3. Soma e Produto das Raízes

Sejam x1 e x2 as raízes da equação: ax2 + bx + c = 0 (a  0) Temos:

3.1. Soma das raízes

3.2. Produto das raízes

4. Fatoração do Trinômio de 2o Grau

Sendo f(x)  ax2 + bx + c e a  0, a sua forma fatorada é:

f(x) = a(x – x1) (x – x2) onde x1 e x2 são as raízes de f.

Demonstração:

f(x) = ax2 + bx + c f(x) = a(x2 +bx/a +c/a ) f(x) = a[x2 – (x1 + x2) x + x1x2] f(x) = a(x2 – x1x – x2x + x1x2) f(x) = a[x(x – x1) – x2(x – x1)] f(x) = a(x – x1)(x –x2)

Exemplo:

Fatorar o trinômio 2x2 – 8x + 6. Encontramos suas raízes: x1 = 1 e x2 = 3 Forma Fatorada: 2 (x – 1).(x – 3)

5. Sinal da Função Quadrática

Analisar o sinal de uma função significa determinar para que valores de x a função assume valores positivos e para que