lista vestorial

Definição:
Seja V ≠Ø . V é dito um espaço vetorial se e somente se:
1) Está definida uma adição em V que associa a cada par de elementos u e v um único elemento em V, indicado por u + v e chamado de soma de u com v, que satisfaz as seguintes propriedades: u, v, w ϵ V:
• u + v = v + u ( comutativa)
• u + (v + w) = (u + v) + w (associativa)
• Existe 0 tal que v + 0 = v (elemento neutro)
• Dados u ϵ V, existe v ϵ V, tal que u + v = 0 ( oposto do elemento u)

2) Está definida uma multiplicação em V que associa a cada elemento u um único elemento em V, indicado por α.u e chamado de multiplicação de u por α, que satisfaz as seguintes propriedades:

α . (β . v) = (α . β) . v
•
α . (v+w) = α . v + α . w
•
(α + β) . v = α . v + β . v
•
1. v = v
Exemplo 1: V = R2 = { (x,y) ; x,y Є R} é espaço vetorial .
Exemplo 2: V = R3 = { (x,y,z) ; x,y,z Є R} é espaço vetorial .
•





Exemplo 3 : V = Rn = { (x1,x2,..., xn) ; xi ε R} é espaço vetorial .
Exemplo 4: Espaço de matrizes
x
u
z


V = m2x2 = { espaço vetorial.


Generalizando:

y

w


; x, y, z e w ε R } é


 a11



mmxn =  a 21
 .


u  
 .

 .



a

 m1


a12 a 22
.
.
.
am2

...
...

...

 a1n 

 a2n 



.
;aij  R 

. 



. 

a mn 




Exemplo 5: Polinômios de grau ≤ n
 P2(R) = { p(x) = a0 + a1x + a2x2 ; ai Є R } , polinômios de grau ≤ 2 é espaço vetorial .


P3(R) = { p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ; ai Є R } , polinômios de grau ≤ 3 é espaço vetorial.

V

w w1 w2
0

w1+w2 kw1 Subespaços do R2 :
 { 0 }
 Retas que passam pela origem
 R2
Subespaços do R3 :
 { 0 }
 Retas que passam pela origem
 Planos que passam pela origem
 R3

Seja V um espaço vetorial, os vetores v1, v2,...,vn  V e as constantes a1, a2,...,an R.

Então o elemento v = a1v1+a2v2+...+anvn é chamado de combinação linear de v1,v2,...,vn. Ex:


