Lista de exercícios - Continuidade de funções

Universidade de Bras´ ılia Departamento de Matem´tica a C´lculo 1 a Lista de Fixa¸˜o – Semana 2 ca Temas abordados: Continuidade
Se¸˜es do livro: 2.4; 2.5 co 1) Explique o que significa dizer que uma fun¸ao f ´ cont´ c˜ e ınua no ponto x = x0 .
2) Sabe-se que limx→2 f (x) = 5 e f est´ definida em R. Todas as afirma¸oes abaixo s˜o a c˜ a falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.
(a) f (x) > 0 para x ∈ (1, 3)

(b) f (2) = 5

(c) f (2) ´ positivo e 3) Suponha que x2 cos2 (x) ≤ f (x) ≤ x sen(x), para todo x ∈ (−π/2, π/2). Verifique que f
´ cont´ e ınua em x = 0.
4) Para cada uma das fun¸oes f abaixo, verifique se existe uma fun¸˜o cont´ c˜ ca ınua F : R → R tal que F (x) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ). Em caso afirmativo, determine F (x), em caso negativo, explique porque tal fun¸ao n˜o pode existir. c˜ a x2 − 4
|x|
(b) f (x) =
(a) f (x) = x x−2 x3 cos(1/x)
1
 √
 x−1 se 6) Decida se a fun¸ao g(x) = c˜ x
 1/2− 1 se

5) Decida se a fun¸ao f (x) = c˜ se x = 0,
´ cont´ e ınua em x = 0. se x = 0, x = 1,

´ cont´ e ınua em x = 1.

x = 1,

1 + ax x4 + 2a


8) Determine a, b ∈ R tal que a fun¸ao f (x) = c˜ 
7) Determine a ∈ R tal que a fun¸˜o f (x) = ca se x ≤ 0, seja cont´ ınua em x = 0. se x > 0,
√
se x < 1,
− 2−x ax + b se 1 ≤ x < 2, seja
2
|x − 7x + 12| se x ≥ 2, ,

cont´ ınua. 9) Para cada fun¸ao abaixo determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo c˜ menos uma ra´ da fun¸˜o. ız ca πx (a) f (x) = x3 + x − 1
(b) g(x) = x3 + 3x − 5
(c) h(x) = 1 + x cos
2
10) Verifique que existe x ∈ R tal que sen(x) = x − 1.

Lista de Fixa¸˜o da Semana 2 - P´gina 1 de 2 ca a

RESPOSTAS
1) A fun¸˜o f ´ cont´ ca e ınua no ponto x = x0 se lim f (x) = f (x0 ). Desse modo, o ponto x0 tem que estar no x→x0 dom´ ınio de f , o limite nesse ponto deve existir e coincidir com o valor da fun¸˜o no ponto. ca 2)
3) Fazendo x = 0 conclu´ ımos que f (0) = 0.