Lista de exercícios algebra linear

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

1a Lista de Exercícios – Álgebra Linear
1. Em cada item abaixo, verifique se o sistema associado à equação matricial AX = B é determinado e, em caso afirmativo, encontre sua solução de duas formas: usando a inversa de A e usando a forma escada de A

1  a) A =  2 1  1  b) A =  2 1 

2 0  3 1 , X = 1 0 

 x  2      y  e B=  4  z 1      x 1      y  e B=  4  z  2    

1 0  3 1 , X = 2 0 

2. Analise cada um dos sistemas abaixo, onde k é um número real.

a)

2y  z 3   2  2x  y  4 y  kz  k 

2y  z 3   b)  2 x  y 2  4 y  kz  k 

3. Encontre todas as soluções do sistema de cada um dos sistemas abaixo:
2 y  4 z  2w  8  a)  3x  6 y  3z  6w 18

b) 



y  z  w 3

x  y  3z  w  4

4. Responda se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira e justifique sua resposta: a) (A.B)-1 = A-1.B-1 b) Se duas matrizes nxn são invetíveis então a soma destas matrizes também é invertível. c) (A.B)-1 = B-1.A-1

1   3 1 1   d) O posto da matriz   6 2  2  2  é igual ao posto da matriz  9 3 3 3   

4  0 3   4  6  2   

 4 42 0 0    7 3 2 1  e) A matriz A =  admite inversa 0 1 1 0  10 0 1 1    

 x  2y  5 5. Use a inversa da matriz dos coeficientes para resolver o sistema   2x  y  4  x  2 y  3z   4  6. Encontre o valor de k, de modo que o sistema  5 x  6 y  7 z   8 seja indeterminado  6 x  8 y  k z  12 

 x y z  0  7. Encontre k de modo que o sistema  x  2 y  kz  0 só admita a solução trivial  2  x  4y  k z 0
8. Seja C[a,b] o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo [a,b]. Se f e g pertencem a C[a,b] a adição f+g por (f+g)(x)= f(x)+g(x). Se c é um número real defina multiplicação por escalar cf por (cf)(x)= cf(x). Mostre que C[a,b], com estas operações, é um espaço vetorial. 9.