lista de exercicios derivadas

1. Utilizando a defini¸ca˜o, df (x) f (x + ∆x) − f (x)
= lim∆x→0
,
dx
∆x

(1)

calcule as derivadas valor:

√
(a) f (x) = √x.
(d) f (x) = x3 .

(b) f (x) = 7x2 + 3x + 1.
(e) f (x) = e3x .

(c) f (x) = cos(5x).

2. Encontre a reta tangente a curva f (x) = x2 + 1 no ponto (1, 2). Qual ponto da curva f (x) = x2 + 1 possui a reta tangente paralela ao eixo das abscissas.
3. Encontre todas as retas tangentes a curva f (x) = x2 − 1 que passam:
(a) Pelo ponto (0,0).
(b) Pelo ponto (2,-2)
4. Utilizando as regras de deriva¸ca˜o, calcule as derivadas das fun¸co˜es abaixo:
√
(a) f (x) = sen(x) + 1.
(c) f (x) = x + √1x .
(b) f (x) =
5. Encontre

x2
.
x2 +x+1

(d) f (x) = 2sen3 (x).

dy
:
dx

(a) 4x2 + 4y 2 − y 3 = 0

(b) xy 2 + 2y 3 = x − 2y
6. Utilizando diferenciais calcule:
√
(a) 15.
(b) ln(1, 5)
√
(c) 4 15.
(d) Quais as diferen¸cas entre os valores c´alculados nos itens anteriores e o valor obtido na calculadora.
7. Mostre que entre todos os retˆangulos tendo uma ´area de 100 cm2 , o quadrado de 10 cm possui o menor perimetro.
8. Se f (x) = ax3 + bx2 , determine a e b de tal forma que o gr´afico de f (x) tem um ponto de inflex˜ao em (2, 16):

1

9. Mostre que se f (x) e g(x) possuem derivadas no intervalo I, ent˜ao a fun¸ca˜o h(x) = f (x) + g(x), tem como derivada

dh(x) df (x) dg(x)
=
+ dx dx dx .
10. Utilizando a defini¸ca˜o [1], mostre que a derivada de uma fun¸ca˜o par ´e uma fun¸ca˜o
´ımpar.
11. Um fazendeiro deseja construir um galinheiro retangular, maximizando a ´area. Para isso ele vai utilizar uma fra¸ca˜o da parede que mede 50 m e uma tela de comprimento
50 m. Quais as dimens˜oes do galinheiro.
12. Se f (x) = ax4 − 6x2 + b, determine a e b de tal forma que o gr´afico de f (x) tem um ponto de inflex˜ao em (2, −19).
13. Calcule os limites:
(a) limx→0 xln(x)
(d) limx→0

x

tg(x)
(c) limx→ π + ln(x− π )

x3 +6x2 +7
5x3 +7x

(f) limx→−1

e
(b) limx→∞ ln(x)

x2 +6x
x3