Lista de exerc cios Regras de Deriva o

Conteúdo (resumo) e listas de exercícios de Cálculo Diferencial e Integral
Curso de Engenharia (Básico) - 2015
Professor Luiz Carlos Martins Jr
Universidade Paulista (UNIP)
Campus São José do Rio Preto / SP

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Coe…ciente angular da reta tangente

Considere uma função y = f (x) cujo grá…co é a curva C e um ponto P (x0 ; y0 ) pertencente a curva C. Lembre-se que y0 = f (x0 ). Queremos encontrar o coe…ciente angular da reta tangente à curva C no ponto P . Vamos tomar um ponto Q (x; f (x)). O coe…ciente angular da reta secante passando por P e Q é f (x) x f (x0 ) x0 Tomando o ponto Q cada vez mais próximo de P (o que é equivalente a tomar x cada vez mais próximo de x0 ) é intuitivo esperar que o coe…ciente angular dessa secante se aproxime cada vez mais do coe…ciente angular da reta tangente. Note que o ponto P …ca …xo.

De…nimos então o coe…ciente angular da reta tangente como o seguinte "limite" : f (x) f (x0 ) lim x!x0 x x0
Tomando x = x x0 podemos reescrever tal limite como: lim f (x0 +

x!0

x) x f (x0 )

Basta ver que: x = x0 + x, e que quando x ! x0 temos que o grá…co.
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x ! 0. Veja

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Taxa de variação

O quociente f (x) f (x0 ) x x0 é uma taxa de variação. Na verdade, é chamada de taxa média de variação.
Logo, o limite f (x) f (x0 ) lim x!x0 x x0 também é interpretado como uma taxa de variação.
Exemplo 1: Considere um objeto que se move em linha reta e seja y = s (t) a função que dá a posição desse objeto em função do tempo. Então, o deslocamento do objeto no intervalo de tempo t = t t0 é s = s (t) s (t0 ).
Logo, a quociente s (t) s (t0 ) s = vm = t t t0 é chamado velocidade média enquanto o limite v (t0 ) = lim

t!t0

s (t) t s (t0 ) t0 é a velocidade instantânea, ou velocidade no instante t0.
Exemplo 2: De forma análoga a velocidade escalar média, temos a aceleração escalar média: v (t) v (t0 ) v = am = t t t0 enquanto que o limte a (t0 ) = lim

t!t0

v (t) t v (t0 ) t0 é chamado aceleração instantânea, ou aceleração no instante t0 .
Exemplo 3: