Lista calculo a

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Universidade Federal do Esp´ ırito Santo Centro de Ciˆncias Agr´rias e a
Lista 2 de C´lculo A a Professor: Thiago Louren¸o Pires c

1a Quest˜o: Qu˜o pr´ximo de 2 devemos tomar x para que 5x + 3 esteja a uma distˆncia de 13 menor do a a o a que (a) 0, 1 e (b) 0, 01. 2a Quest˜o: Qu˜o pr´ximo de 3 devemos tomar x para que 2x + 4 esteja a uma distˆncia de 10 menor do a a o a que 0, 01. 3a Quest˜o:Qu˜o pr´ximo de −1 devemos tomar x para que 3 − 4x esteja a uma distˆncia de 7 menor do a a o a que 0, 02. 4a Quest˜o: Mostre que lim 4x − 1 = 11 usando a defini¸˜o de limite. a ca
x→3

5a Quest˜o: Mostre que lim x2 = 4 usando a defini¸˜o de limite. a ca
x→2

6a Quest˜o: Mostre que se lim f (x) = L e lim g(x) = M , ent˜o lim (f − g)(x) = L − M a a
x→x0 x→x0 x→x0

7a Quest˜o: Discuta acontinuidade das fun¸˜es no ponto a dado. a co √ (a) f (x) = 2x − 5 + 3x, a = 4 (b) f (x) = (c) f (x) = 3x2 + 7 − √ 1 , a = −2 −x

x ,a=2 −4 x2 − 4 (d) f (x) = ,a=2 x−2 x2

8a Quest˜o: Discuta a continuidade das fun¸˜es. a co (a) f (x) =            x2 − 4 x−2 2 se x = 2

se x = 2 se x = 1

(b) f (x) =

1 x−1

(c) f (x) =

   2 x2 + 1 x3 + x + 1

se x = 1 se x ≤ 0 se x > 0 (d) f (x) = (e)   x2 + 1 f (x) = 2−x  (x − 2)2   se x ≤ 0 se 0 ≤ x ≤ 2 se x ≥ 2 sen(x) cos(x) se x ≤ π/4 se x ≥ π/4

9a Quest˜o: Determine os valores de k e c para que as fun¸˜es abaixo sejam cont´ a co ınuas. (a) x2 − x f (x) =  k x  2  kx + cx 2 f (x) = 2x  2k + cx                                                          √x−1 x−1 se x = 0 se x = 0

(b)

se x < 1 se 1 ≤ x ≤ 3 se x > 3

(c)

se 0 ≤ x < 1 se x = 1 se x > 1

f (x) =

c (4x2 + kx)(x − 1) x2 + 2x − 3 x2 − (2 + k)x + 2k x−2 √ √ ( x − 2)c x−2 x3 + (k + 1)2 x2 x √ c( 1 + x − 1) kx −x2 + 2 (3x2 + 2k)(x − 1) c(x2 + x − 2)      tg(kx) x 3x + 2k 2

(d)

se x > 2 se 0 ≤ x ≤ 2 se x < 0

f (x) =

(e)

se x < 0 se 0 ≤ x ≤ 1 se 1 < x

f(x) =

(f)

se x < 0 se x ≥ 0

f (x) =

10a Quest˜o: Calcule os limites, se existirem. a (a) lim 1 x→+∞ 2x − 3 3x + 5 x→+∞ x − 4 x2 3 −x (n) lim sen
x→−∞

1 x

(b) lim (c) lim

(o) lim

x→+∞

9x2 + x − 3x 2x + 1 x2 + x x2 + ax − x2 + 2x x2 + bx

x→0+

(p) lim (q) lim

x→−1+

(d) lim

x→3+

5 3−x

x→+∞

(e) lim

1 − x − x2 x→−∞ 2x2 − 7

(r) lim x +
x→−∞

2− 3y 2 (f) lim y→+∞ 5y 2 + 4y x7 + 2x3 + 4 (g) lim x→+∞ 5x4 + 2πx + 4 −4x3 + 5x + 1 (h) lim x→−∞ 2x3 + x − 1 √ (i) lim x − x
x→+∞

(s) lim (t) lim (u) lim

x→3+

x2 − 3x x2 − 6x + 9 sen(x) x3 − x2

x→0+

t→0

tg(t) t sen(3x) x sen(x) x−π x2 sen(x) tg(3x) sen(4x) sen(x + h) − sen(x) h

(v) lim

x→0

(j) lim

−x3 + 3x + 1 x→+∞ x2 + 7

(w) lim

x→π

4u2 + 5 (k) lim u→+∞(u2 + 1)(3u2 − 1) (l) lim √
h→−∞ x→−∞

(x) lim

x→0

h+2 9h2 + 1

(y) lim

x→0

(m) lim x4 + x5

(z) lim

h→0

11a Quest˜o: A fun¸˜o maior inteiro ou fun¸˜o ch˜o ´ definida por √ = o maior inteiro, que ´ menor a ca ca a e ⌊x⌋ e ou igual a x. (Por exemplo, ⌊4⌋ = 4, ⌊4, 56⌋ = 4 ⌊π⌋ = 3, 2 = 1). Esboce o gr´fico de ⌊x⌋. a Em que conjunto a fun¸˜o ´ cont´ ca e ınua? √ 12a Quest˜o:Mostre a existˆncia de 2. a e 13a Quest˜o: Existe um n´mero que ´ exatamente um a mais do que seu cubo? Justifique sua resposta. a u e 14a Quest˜o: Use o teorema do sandu´ a ıche para calcular lim
x→+∞

sen(x) . x

15a Quest˜o: A for¸a gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distˆncia r do a c a centro do planeta ´ e   GM r    R3  GM    r2 se r < R se r ≥ R,

F(r) =

onde M ´ a massa da Terra; R ´ seu raio; e G ´ a constante gravitacional. F ´ uma fun¸˜o e e e e ca cont´ ınua de r?

Respostas 1b |x − 2| < 0, 002 2 |x − 3| < 0, 005 3 |x + 1| < 0, 005 7a f ´ cont´ e ınua em a = 4 7b f n˜o ´ cont´ a e ınua em a = 2 8a f ´ cont´ e ınua em R \ {2} 8b f ´ cont´ e ınua em R \ {1} 8c f ´ cont´ e ınua em R 7c f ´ cont´ e ınua em a = −2 7d f n˜o ´ cont´ a...
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