Limites

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  • Publicado : 14 de março de 2013
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Limites
Para definir a derivada de uma função num ponto de seu domínio, escrevemos:

onde o acréscimo x é tal que x0+x pertence ao domínio da função f.
Nessa expressão temos um significadogeométrico, pois encontrar a derivada de uma função num ponto x0 de seu domínio, é determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0,f(x0)).

Por outro lado, paradefinir a integral de uma função contínua num intervalo [a,b], escrevemos:

onde, para cada i, .
No caso da função f ser tal que f(x)  0, para todo , a expressão também tem um significado geométrico queé o da área da região delimitada pelo eixo horizontal, o gráfico de f e as retas verticais x=a e x=b.
Temos algumas tarefas pela frente:
* entender as notações  e 
* atribuir significados a  ea 
* desenvolver mecanismos para calcular limites
* conhecer alguns Teoremas sobre Limites
* fazer extensões para o conceito de limite
* estudar as formas "indeterminadas" 
*examinar alguns problemas envolvendo limites
* conhecer as Regras de L'Hospital
* alguns fatos históricos sobre os Limites

*  Consideremos y=f(x)=x2. O coeficiente angular da reta tangenteao gráfico de f no ponto (1,1) é 2.
*
*
 Consideremos agora y=f(x)=x3. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é 3.
*
*
*
Vamos considerar asituação geral, para chegar a uma conclusão também geral.
* A taxa de variação média de uma função num intervalo [x0,x0+Dx] contido em seu domínio, é o quociente . Geometricamente, o significadodesse quociente, como podemos ver na figura, é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x0,f(x0)) e (x0+x, f(x0+x)). Uma vez que esses dois pontos pertencem ao gráfico da função, dizemosque essa reta é secante ao gráfico. Observemos que o coeficiente angular da reta é a tangente trigonométrica do ângulo - medido no sentido anti-horário - que a reta forma com o eixo horizontal....
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