Limites

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Capítulo 3

LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
3.1 Limites

O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite. Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significado geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites. Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de umafunção y = f (x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio. Por exemplo, seja f (x) = (2 x + 1)(x − 1) 2 x2 − x − 1 = . x−1 x−1

É claro que Dom(f ) = R − {1}. Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de 1, mas sem atingir 1. Para todo x ∈ Dom(f ) temos que f (x) = 2x + 1. Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de 1, pela esquerda(x < 1) e pela direita (x > 1) e os correspondentes valores de f (x): x1 2 1.7 1.5 1.2 1.09 1.009 1.0009 1.00009 1.000009 1.0000009 1.00000009 f (x) 5 4.4 4 3.4 3.18 3.018 3.0018 3.00018 3.000018 3.0000018 3.00000018

Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que x vai se aproximando de 1, os valores de f (x) vão aproximando-se de 3”. A noção de proximidade pode ficar mais precisautilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer x, y ∈ R é |y − x|. Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se |x − 1| aproxima-se de zero, então |f (x) − 3| também se aproxima de zero; em outras palavras: para que |f (x) − 3| seja pequeno é 125

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CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

necessário que |x − 1| também seja pequeno. Onúmero 3 é chamado limite de f (x) quando x está próximo de 1. No exemplo, temos |f (x) − 3| = 2|x − 1|; logo, a distância de f (x) a 3 é igual a duas vezes a distância de x a 1. É claro que quando x aproxima-se de 1, |x − 1| aproxima-se de zero e consequentemente |f (x) − 3| também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar f (x) tão perto de 3 quanto desejarmos, bastando para tal considerar xsuficientemente próximo de 1. Por exemplo, se desejarmos que |f (x) − 3| seja igual a 0, 2, basta considerar |x − 1| = 0, 1; agora, se desejarmos que |f (x) − 3| < 0, 02, basta considerar |x − 1| < 0, 01. De um modo geral, considerando qualquer número real positivo ε (letra grega epsilon), tão ε pequeno quanto se deseje e definindo o número real δ (letra grega delta), δ = , teremos que 2 a distânciade f (x) a 3 é menor que ε, desde que a distância de x a 1 seja menor que δ. Então para todo número real positivo ε existe outro número real positivo δ, que depende de ε, tal que se 0 < |x − 1| < δ, então |f (x) − 3| = 2 |x − 1| < 2δ = ε. Note que todos os intervalos abertos que contém 1 intersectam R − {1} de forma não vazia.

3

1

Figura 3.1: Definição 3.1. Sejam f : A → R uma função e b ∈R tais que para todo intervalo aberto I, contendo b, tem-se I ∩ (A − {b}) = φ. O número real L é o limite de f (x) quando x aproxima-se de b quando para todo número ε > 0, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, se x ∈ A e 0 < |x − b| < δ então |f (x) − L| < ε. A notação é: lim f (x) = L
x→b

A definição é equivalente a dizer: Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ (b − δ, b + δ) ∩ A −{b} , então f (x) ∈ (L − ε, L + ε).

L+ε L L- ε

b- δ

b

b δ

Figura 3.2:

3.1. LIMITES
Exemplo 3.1. Verifique que lim x2 = 16.
x→4

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Pela definição temos que, dado ε > 0, devemos obter um δ > 0 tal que se 0 < |x − 4| < δ então |x2 − 16| < ε. Mas |x2 − 16| = |x − 4||x + 4| e desejamos que este produto fique menor que ε para x suficientemente próximo de 4. Intuitivamente, se xestá próximo de 4, |x + 4| estará próximo de 8 e |x−4| ficará próximo de zero. Logo |x−4||x+4| ficará próximo de zero; estamos, pois em condições de tornar |x2 − 16| < ε desde que x fique suficientemente próximo de 4. A primeira coisa a fazer é limitar o fator |x + 4|. Há várias maneiras de fazer isto. Por exemplo, se 3 < x < 5, teremos −1 < x − 4 < 1 ou |x − 4| < 1; logo, |x + 4| = |x − 4 + 8| ≤...
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