Limites no infinito

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Aula 2
Derivadas e retas tangentes. Novas
regras de deriva»
c~
ao
2.1 A derivada como inclina»c~
ao de uma reta tangente
ao gr¶
a¯co da fun»
c~
ao
Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atrav¶
es do conceito de velo cidade
instant^anea. Veremos agora uma inter preta»
c~
ao geom¶
etrica da derivada, em rela»
c~
ao ao
gr¶
a¯co da fun»
c~
ao y = f (x).Esta¶euma id¶
eia de Fermat.
y
y = f(x)
r
P
f( )
x
x0 +
y
t
P0
f( )
x0
0
a ß
x
x
x
0 x0 +
x
Figura 2.1. A derivada da fun»
c~
e a inclina»
c~
ao da reta t,tangenteaogr¶
a¯co
ao f ,emx0,¶
de f em P0.
=0um acr¶
escimo (ou de-
Fixado um valor x0, sendo de¯nido f (x0), seja ¢x 6
11

Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac
» ~
ao 12
cr¶
aoescimo) dado a x0. Sendo x1 = x0 +¢x,temosquearaz~
¢y
¢x = f (x0 +¢x) ¡ f (x0)
¢x = f (x1) ¡ f (x0)
x1 ¡ x0

e o coe¯ciente angular da reta r, secante ao gr¶
a¯co da curva y = f (x), passando pelos
pontos P0 =(x0;f(x0)) e P =(x1;f(x1)).
Observando os elementos geom¶
etricos da ¯gura 2.1, temos que quando ¢x tende
a 0,opontoP tem como p osi»
c~
a como
ao limite o ponto P0, e a retasecan te P0P ter¶
posi»
c~
ao limite a reta t,tangenteaogr¶
a¯co de f no ponto P0.
Na ¯gura, temos ainda, da geometria anal¶³tica elementar,
tg ¯ = tangente do ^
angulo ¯
= coe¯ciente angular (ou inclina»
c~
ao ) da reta secante P0P
= ¢y
¢x:
tg ® = tangente do ^
angulo ®
= coe¯ciente angular da reta t,tangenteaogr¶
a¯co de f ,nopontoP0:
Note aqui difer entes empregos (com diferentessigni¯cados) da palavra tangente:atan-
gente (trigonom¶etrica) do ^
angulo ®,nosd¶
aainclina»
c~ao,oudeclividade,oucoe¯ciente
angular,daretat, que ¶
e (geometricamente) tangente ao gr¶
a¯co de f (ou que tangencia
ogr¶
a¯co de f )nopontoP0.
Quando ¢x tende a 0, ¯ ten de a ®,eent~
ao ¢y
¢x =tg¯ tende a tg ®.
¢y
Da¶³, lim
¢x =tg®.
¢x!0
Assim, com este argumento geom¶
etrico eintuitivo, interpretamos f 0(x0)=tg® como
sendo o coe¯ciente angular (ou a inclina»
c~
ao) da reta t,tangenteaogr¶
a¯co de f (ou
seja, tangente µ
acurvay = f (x))nopontoP0 =(x0;f(x0)).
Sabemos que a equa»
c~
ao d e uma reta, de coe¯cien te angular m, passando p or um
ponto P0 =(x0;y0),¶edadapor
y ¡ y0 = m(x ¡ x0):
Assim sendo, temos que a equa»
c~ao da reta t,tangenteµ
acurvay = f (x)no ponto
P0 =(x0;y0)=(x0;f(x0)) ¶edadapor
y ¡ y0 = f 0(x0) ¢ (x ¡ x0)
Em geral, se queremos aproximar a fun»
c~
ao f (x), nas proximidades de x0,poruma
fun»
c~
a¯co
ao da forma g(x)=ax + b, tomamos g(x)=f (x0)+f 0(x0) ¢ (x ¡ x0).Ogr¶

Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac
» ~
ao 13
de g ser¶
aent~
euma
aoaretatangenteaogr¶a¯co de f no ponto P0. Dizemos que g(x) ¶lineariza»
c~
ao de f (x) nas proximidades de x0.
A reta normal µ
acurvay = f (x),nopontoP0 dessa curva, ¶e a reta que passa p or
a curva. Isto, ¶
e, r ¶
enormalµ
P0 p erpendicularmente µ
acurvay = f (x),nopontoP0,
quando r ¶
e perpendicular µ
aretatangenteµ
a curva nesse ponto.
Lembre-se que se duas retas s~
ao perpendiculares, tendo coe¯cientes angulares m
e m0,ent~
ao m0 = ¡1=m.=0, a equa»
c~
ao da reta r,normalµacurvay = f (x) no ponto
Assim, se f 0(x0) 6
P0 =(x0;y0) ¶e
y ¡ y0 = ¡ 1
f 0(x0)(x ¡ x0)
Exemplo 2.1 Qual ¶e a equa»
c~
ao da reta t, que tangencia a par¶
abola y = x2,noponto
P =(¡1; 1)? Qual ¶
e a equa»
c~
ao da reta r,normalµ
apar¶
abola nesse ponto?
y
t
r
P
1
1
-1
x
-1
Figura 2.2. Representa»
c~ao gr¶
a¯ca da curva y = x2edasretast e r, tangente e normal
µ
a curva no p onto P =(¡1; 1).
Solu»
c~
ao. Sendo y = x2,temos dy
dx =2x.EmP ,temosx0 = ¡1. O coe¯ciente
angular da reta t ¶
edadopor
¯
¯
¯
¯x=¡1
dy
=2¢ (¡1) = ¡2:
dx

Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac
» ~
ao 14
Assim, a reta t,tangenteµ
c~
ao
acurvay = x2 no ponto P , tem equa»
y ¡ 1=(¡2)(x ¡ (¡1))
ou seja, y = ¡2x ¡...
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