limites laterais

Aula 5
Limites laterais
Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶dulo de x como sendo o ( x se x ¸ 0 jxj =
¡x se x < 0 p p p p
Por p exemplo, j 2j = 2, j+ 3j = +3, j¡ 4j = 4, j0j = 0, j1 ¡ 2j = 2 ¡ 1 (pois
1 ¡ 2 < 0).
Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»~o ca f (x) = x +

x jxj cujo campo de de¯ni»~o (dom¶ ca ³nio) ¶ o conjunto R ¡ f0g. e Se x > 0, jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portanto f (x) = x ¡ 1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 5.1. a e c y
2

1

-2

-1

1

2

x

-1
-2

Figura 5.1. Esbo»o do gr¶¯co de f (x) = x + c a
39

x
.
jxj

Limites laterais

40

Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f (x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se
< 0, f (x) tende a ¡1.
Dizemos ent~o que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶ igual a 1, a e e denotamos lim f (x) = 1
+
x!0

Dizemos tamb¶m que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶ igual e e a ¡1, e denotamos lim f (x) = ¡1
¡
x!0

De um modo geral, sendo f (x) uma fun»~o, se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo ca a e inferior de um intervalo contido em D(f ), lim f (x) signi¯ca

lim f(x)

x!x0 x>x0 x!x+
0

Se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo superior de um intervalo contido em D(f), a e lim f (x) signi¯ca

lim f (x)

x!x0 x0 lim
¡

x!0

1
1
= lim = ¡1 x x!0 x x 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) > 0 para todo x su¯cientee mente pr¶ximo de x0 . o Dizemos que lim f (x) = 0¡ se x!x0 (i) lim f(x) = 0, e x!x0 (ii) f(x) mant¶m-se < 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) < 0 para todo x su¯cientee mente pr¶ximo de x0 . o Escrevemos ainda lim+ f (x) = 0+ para indicar que x!x0 (i) lim+ f (x) = 0, e (ii) f (x) > 0 quando x ! x0 e x > x0 . x!x0 Analogamente, podemos tamb¶m conceituar os casos e lim f(x) = 0¡ , lim¡ f (x) = 0¡ , e lim¡ f (x) = 0+ .

x!x+
0

x!x0

x!x0

Nossa ¶lgebra de limites passa a contar