Limites 2014 2

Introdução aos Limites
1 Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: x y = 2x + 1
1,5
4
1,3
3,6
1,1
3,2
1,05
3,1
1,02
3,04
1,01
3,02

x y = 2x + 1
0,5
2
0,7
2,4
0,9
2,8
0,95
2,9
0,98
2,96
0,99
2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), temos:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Não é preciso que x assuma o valor. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
2 Definição: Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. O limite da f(x) quando x tende a, será L, escrito como

Se a seguinte afirmativa for verdadeira: dado > 0, qualquer, existe um , tal que se 0 <<se, então .
Observe que se x estiver entre a - e a +, então a f(x) estará entre L - e L +. Logo 0 <<1se, então 1.
No entanto, para qualquer escolha de > 0, não importa quão pequeno seja, existe um > 0. Logo .
Como já observamos no exemplo anterior, os valores da função f(x) tendem a um limite quando x tende a um número a, se o valor absoluto da diferença entre f(x) e L puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a. Ou seja,quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de L (f(x)L). Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o