Leis de newton e kepler

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Fórmula da gravitação por Newton.
Ninguém tem certeza se o conto sobre Newton e a maçã é verídico, mas o raciocínio, com certeza, tem seu valor. Ninguém antes dele ousou contrariar Aristóteles e dizer que a mesma força que atrai uma maçã para o chão mantém a Lua, a Terra, e todos os planetas em suas órbitas.
Newton não foi o único a fazer contribuições significativas para o entendimento dagravidade. Antes dele, Galileu Galilei corrigiu uma noção comum, partida do mesmo Aristóteles, de que objetos de massas diferentes caem com velocidades diferentes. Para Aristóteles, simplesmente fazia sentido que objetos de massas diferentes demorassem tempos diferentes a cair da mesma altura e isso era o bastante para ele. Galileu, no entanto, tentou de fato lançar objetos de massas diferentes aomesmo tempo e da mesma altura. Desprezando as diferenças devido ao arraste do ar, Galileu observou que todas as massas aceleravam igualmente. Podemos deduzir isso usando a Segunda Lei de Newton, F = ma. Se considerarmos dois corpos com massas m1 e m2 muito menores do que massa da terra MT, obtemos as equações:
m_1a_1 = F_1 = -{G m_1M_T \over r^2}
m_2a_2 = F_2 = -{G m_2M_T \over r^2}
Dividindoa primeira equação por m1 e a segunda por m2 obtemos:
a_1 = -{G M_T \over r^2}
a_2 = -{G M_T \over r^2}
ou seja, a1 = a2.
Fórmula da gravitação por kepler

Com a Teoria da Gravitação Universal de Isaac Newton, foi possível postular um único princípio:
\vec F = -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r}
que, aliado às Três Leis de Newton, foi capaz de explicar completamente as observações astronômicasconhecidas até a época e ainda depois, até a descoberta de que a velocidade da luz no vácuo é constante para todos os referenciais. Essa descoberta levou à criação da Teoria da Relatividade Restrita e, consequentemente, da Teoria da Relatividade Geral, que, para certos fenômenos que até então não haviam sido observados, invalida a teoria de Newton da gravitação.
No entanto, as Leis de Newton e asua teoria da gravidade são mais do que o suficiente para explicar as Leis de Kepler. De fato, as três leis são deriváveis da simples equação postulada acima, de modo que ainda aparecem mais completas do que da forma descrita por Kepler.
Para derivá-las, é preciso introduzir alguns conceitos.
\dot x representa a derivada temporal de x, enquanto \ddot x é a derivada temporal segunda de x.\hat{r} é o vetor unitário que indica a direção do planeta em relação à sua estrela. A derivada temporal desse vetor, que representaremos como \dot {\hat{r}} é igual a \dot {\theta}. \hat{\theta}, onde \dot {\theta} é a velocidade angular do planeta em relação à estrela, e \hat{\theta} é um vetor unitário perpendicular a \hat{r}. Existem duas direções possíveis de um vetor unitário perpendiculara outro, mas a direção deste é escolhida de modo que \hat{r} tivesse que virar no sentido anti-horário para apontar na mesma direção dele. A derivada de \hat{\theta}, por sua vez, é - \dot {\theta}. \hat{r}.
O vetor \vec r é o vetor-posição do planeta em relação à sua estrela, e é definido como \vec r = r \hat{r}, onde r é o módulo da distância entre o planeta e a estrela. Assim, \dot{\vec r} = \dot r \hat{r} + r \dot {\hat{r}}. Seguindo daí,
\ddot {\vec r} = \ddot r \hat{r} + \dot r \dot {\hat r} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + r \ddot {\theta} \hat{\theta} + r \dot {\theta} \dot {\hat{\theta}}
\ddot {\vec r} = \ddot r \hat{r} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + r \ddot {\theta} \hat{\theta} - r \dot {\theta}\dot {\theta} \hat{r}.Organizando, temos, \ddot {\vec r} = (\ddot r - r \dot \theta ^2) \hat r + (r\ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta) \hat {\theta}
Isso será usado na derivação das leis, que vem a seguir:
Primeira lei de KeplerEm primeiro lugar, consideramos o planeta como sendo uma partícula (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de kepler, já que o tamanho dos planetas do sistema solar são...
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