Laplace5 04

O método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por


F ( s )  e  st f (t )dt L( f (t ))
0

Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.

Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s .
Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim


A

 f (t )dt lim  f (t )dt a A  a

Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A   existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.

Exemplo 1: Seja f(t) = 1 / t , t  1, então



 (1 / t )dt
1

Converge ?


A



 f (t )dt  (1 / t )dt lim  (1 / t )dt lim ln A 
1

1

A  1

A 

Logo a integral imprópria diverge.

Exemplo 2: Seja f(t) = 1 / t 2 , t  2, então a integral


 f (t )dt
2

diverge ?

Temos que :



A

A

 (1 / t )dt lim  (1 / t )dt lim ( 1 / t | ) 1 / 2
2

2

2

A  2

A 

2

Logo a integral dada converge para o valor ½ .
Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t  a, se | f(t) |
 g(t) quando t  M para alguma constante positiva M e se


 g (t )dt
M



converge, então  f (t )dt a também converge. Por outro lado, se f(t)  g(t)  0 para t 
M e se



 g (t )dt
M

também diverge.

diverge , então  f (t )dt a Teorema : (Existência da transformada de Laplace) Suponha que 1- f seja seccionalmente contínua no intervalo 0  t  A para qualquer A positivo;
2- | f(t) |  Keat quando t  M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L{f(t)} = F(s), definida pela equação
L{f(t)} = F(s) =



e
0

 st

f (t ) dt ,

Existe para s > a.
Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t  0. Então