Laplace

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov

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Transformada de Laplace (TL) 4.1 Definição e teoremas Definição: Seja f (t ) definida para t ≥ 0 . A transformada de Laplace de f (t ) ,

que F(s ) =

indicamos

por

F(s )

ou

{f (t )},

é

dada

pela

fórmula

{f (t )} =

+ ∞ − st e 0

⋅ f (t ) dt .

{

Exemplos: 1) Mostre que a TL é linear, ou seja, mostre que é verdadeira a igualdade ⋅ f (t ) + ⋅ g(t )} = ⋅ {f (t )} + ⋅ {g(t )} , onde , ≡ constantes . 2) Verifique as igualdades: 1 a) { 1} = ; s > 0 . s 1 b) e at = ; s>a. s−a a c) {sen (at )} = 2 ; s>0. s + a2 s d) {cos(at )} = 2 ; s > 0. s + a2 n! e) t n = n +1 ; s > 0 . s a f) {senh (at )} = 2 ; s> a . s − a2 s g) {cosh (at )} = 2 ; s> a. s − a2

{ }

{ }

OBS: Nos itens f e g, trabalhe com as igualdades senh (x ) = cosh (x ) = ex + e−x . 2

ex − e−x e 2

3) Utilizando as igualdades encontradas no exemplo 2 e o fato da TL ser linear, senh (− 7t ) −8t determine 3 ⋅ cos(2t ) − + e − 2t 4 + 8 . 4 4) Sabendo-se que também é linear e determine
−1

{F(s )} = f (t ) ,

−1

verifique que a transformada inversa 2 4 8 5 + − 2 + 3 . s s−3 s + 4 s

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov

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Teorema: Se F(s ) =

{f (t )} então {f ′(t )} = s ⋅ {f (t )}− f (0) = s ⋅ F(s ) − f (0) .

Teorema:

{f ′′(t )} = s 2 ⋅ {f (t )} − s ⋅ f (0) − f ′(0) .

Teorema: f ( n ) (t ) = s n ⋅

{

}

{f (t )}− s n −1 ⋅ f (0) − s n − 2 ⋅ f ′(0) +

− s ⋅ f (n − 2 ) (0) − f (n −1) (0) .

Teorema:

{ t }= s n ! . n n +1

Utilize o teorema anterior e o fato de que

dn dt n (t ) = n! . n Exemplos: 1) Determine

{3y′′ − 2y′ + y}.

2) Resolva os PVI´s, utilizando TL: a) y′′ − 3y′ + 2y = e3t ; y(0) = 1 e y′(0) = 0 . b) y′′ − y = 1 ; y(0) = 0 e y′(0) = 1 . c) y′′ + y = t ; y(0) = 1 e y′(0) = 3 . d) y′′ − y′ − 2 y = t 2 ; y(0) = 1 e y′(0) = 3 .
−1

3) Determine

8s 2 − 4s + 12 s s2 + 4