Laplace

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov

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4

Transformada de Laplace (TL) 4.1 Definição e teoremas Definição: Seja f (t ) definida para t ≥ 0 . A transformada de Laplace de f (t ) ,

que F(s ) =

indicamos

por

F(s )

ou

{f (t )},

é

dada

pela

fórmula

{f (t )} =

+ ∞ − st e 0

⋅ f (t ) dt .

{

Exemplos: 1) Mostre que aTL é linear, ou seja, mostre que é verdadeira a igualdade ⋅ f (t ) + ⋅ g(t )} = ⋅ {f (t )} + ⋅ {g(t )} , onde , ≡ constantes . 2) Verifique as igualdades: 1 a) { 1} = ; s > 0 . s 1 b) e at = ; s>a. s−a a c) {sen (at )} = 2 ; s>0. s + a2 s d) {cos(at )} = 2 ; s > 0. s + a2 n! e) t n = n +1 ; s > 0 . s a f) {senh (at )} = 2 ; s> a . s − a2 s g) {cosh (at )} = 2 ; s> a. s − a2

{ }

{ }

OBS:Nos itens f e g, trabalhe com as igualdades senh (x ) =
cosh (x ) = ex + e−x . 2

ex − e−x e 2

3) Utilizando as igualdades encontradas no exemplo 2 e o fato da TL ser linear, senh (− 7t ) −8t determine 3 ⋅ cos(2t ) − + e − 2t 4 + 8 . 4 4) Sabendo-se que
também é linear e determine
−1

{F(s )} = f (t ) ,

−1

verifique que a transformada inversa 2 4 8 5 + − 2 + 3 . s s−3 s + 4 s EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov

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Teorema: Se F(s ) =

{f (t )} então {f ′(t )} = s ⋅ {f (t )}− f (0) = s ⋅ F(s ) − f (0) .

Teorema:

{f ′′(t )} = s 2 ⋅ {f (t )} − s ⋅ f (0) − f ′(0) .

Teorema: f ( n ) (t ) = s n ⋅

{

}

{f (t )}− s n −1 ⋅ f (0) − s n − 2 ⋅ f ′(0) +

− s ⋅ f (n − 2 ) (0) − f (n −1) (0) .

Teorema:

{ t }= s n !.
n n +1

Utilize o teorema anterior e o fato de que

dn dt
n

(t ) = n! .
n

Exemplos: 1) Determine

{3y′′ − 2y′ + y}.

2) Resolva os PVI´s, utilizando TL: a) y′′ − 3y′ + 2y = e3t ; y(0) = 1 e y′(0) = 0 . b) y′′ − y = 1 ; y(0) = 0 e y′(0) = 1 . c) y′′ + y = t ; y(0) = 1 e y′(0) = 3 . d) y′′ − y′ − 2 y = t 2 ; y(0) = 1 e y′(0) = 3 .
−1

3) Determine

8s 2 − 4s + 12 s s2 + 4(

)

.

Propriedade 1: Se

{f (t )}= F(s ) então { − t ⋅ f (t )} =

d F(s ) . ds

Exemplos: Determine: 1) 2)

{ t ⋅ e }.
t
−1



(s − 2)2

1

3) .

−1



(s

4s
2

+4

)

2

.

Propriedade 2: Se

{f (t )}= F(s ) então

{ (− t )

n

dn ⋅ f (t ) = n F(s ) . ds

}

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76Exemplo: Determine

−1

(s − 4)3

1

.

1º Teorema do deslocamento: Se Demonstração:

{f (t )}= F(s ) então
+ ∞ − (s − a )⋅ t e 0

{e

at

⋅ f (t ) = F(s − a ) .

}

{e

at

⋅ f (t ) =

}

+ ∞ − st e 0

⋅ eat ⋅ f (t ) dt =

⋅ f (t ) dt = F(s − a )

Exemplos: Resolva o que se pede: a) b) c) d)

{e {e
−1 −1

3t

⋅ sen (t )

−t

⋅ cos(2t )
s−7
2}

}

e) f) g)

−1 −1 −1

1 s − 4s + 9 s s 2 − 4s + 9 2s + 3 s 2 − 4s + 20
2

(s − 7 )

+ 25

(s − 7 )2 + 25

s−9

4.2

Função degrau unitário

Definição: Seja c ≥ 0 . Definimos a função degrau unitário em c como sendo: 0 ; t≤c u c (t ) = 1 ; t>c

u c (t )
1 0 c t

Exemplos: 1) Desenhe os gráficos de: a) 3u 2 (t ) b) u 2 (t ) − u 4 (t ) c) 2u1 (t ) + ⋅ u 3 (t ) − 3u 2(t ) 2) Mostre que
e −sc {u c (t )} = ; s > 0. s

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0 ; t≤c . Esta expressão f (t − c ) ; t > c descreve a função que se obtém ao deslocar f (t ) c unidades para a direita e depois anulando a porção à esquerda de c. u c (t ) ⋅ f (t − c ) f(t) Seja a função f (t ) , tal que u c (t ) ⋅ f (t − c ) =

0

t

0c

t

2º Teorema do deslocamento: Se {f (t )}= F(s ) então { u c (t ) ⋅ f (t − c )} = e −sc ⋅ F(s ) . Demonstração:

{ u c (t ) ⋅ f (t − c )} =
=

+ ∞ − st e 0

⋅ u c (t ) ⋅ f (t − c ) dt =

+ ∞ − st e c

⋅ f (t − c ) dt =

+ ∞ − s ⋅( w + c ) e ⋅f 0

(w ) dw =

w = t −c + ∞ − sw e −sc e ⋅f w 0

( ) dw = e−sc ⋅ F(s )

Exemplos: Resolva o que se pede: a) { u (t ) ⋅ sen (t...
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