Laplace

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Funções de Transferência

Em teoria de controle, funções chamada funções de transferência são
comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes
ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A função de transferência de um sistema de equação diferenciais lineares é
definida como a relação da transformada de Laplace dasaída para a transformada de
Laplace da entrada.
Consideramos o sistema definido pela seguinte equação diferencial:
dy
d mx
d m−1 x
dx
dny
d n−1 y
a n n + a n−1 n−1 +...+ a1
+ a 0 y = bm m + bm−1 m−1 +...+b1
+ b0 x
dt
dt
dt
dt
dt
dt

Onde y é saída do sistema e x é a entrada e n ≥ m.
A função de transferência do sistema é obtida tomando-se a transformada de
Laplace de ambosos membros da equação.
função de transferência G( s) =

L[ saída]
condições iniciais nulas.
L[entrada ]
m

m−1

Y ( s) bm s + bm−1 s +...+b1 s + b0
G ( s) =
=
=
X ( s) a n s n + a n−1 s n−1 +...+a1 s + a 0
m

∑b s
i=0
n

i

i

∑a s
i=0

i

i

Usando o conceito de função de transferência, é possível representar a
dinâmica do sistema pelas equações algébricas em "s".A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos sistemas
de equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

Funções de Transferência 

FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE SISTEMAS DINÂMICOS
Suponha a seguinte equação diferencial de 1a ordem :
VρC

dT
= wC (Ti − T ) + Q
dt

Se o processo está inicialmente no estado estacionário, portanto:
T ( 0) = T
Ti ( 0) =Ti
Q( 0) = Qi

A saída T está relacionada às entradas Ti e Q pelo balanço de energia no
estado-estacionário.
0 = wC(Ti − T ) + Q

Para eliminar a dependência do modelo das condições estacionárias, subtrai-se
a relação no estado-estacionário da equação diferencial do modelo.
VρC

dT
= wC[ (Ti − Ti ) − (T − T )] + ( Q − Q )
dt

Vρ d ( T − T )
1
(Q − Q )
= [ (Ti − Ti ) − (T − T )] +w
dt
wC

fazendo Ti′ = Ti − Ti , T ′ = T − T e Q′ = Q − Q temos:
Vρ dT ′
1
Q′
= [ Ti ′− T ′] +
w dt
wC

Substituindo : τ =
τ

1

eK=
temos:
w
wC

dT ′
= [ Ti ′− T ′] + KQ′
dt

Aplicando Laplace:
τ [ sT ' ( s) + T ' ( 0) ] = T ' i ( s) − T ' ( s) + KQ' ( s)

Sistemas de Controle

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Prof. Josemar dos Santos

Funções de Transferência 

Como T'(0) = 0 então:τ sT ' ( s) = T ' i ( s) − T ' ( s) + KQ' ( s)

(τs + 1) T ' ( s) = T ' i ( s) + KQ' ( s)
T ' ( s) =

1
K
Ti ' ( s) +
Q ' ( s)
τ s +1
τ s +1

Portanto:
T ' ( s) = G1 ( s) T ' i ( s) + G 2 ( s) Q' ( s)

Onde:
G1 ( s) =

1
τ s+1

G2 ( s) =

K
τ s+1

COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

1- É um modelo matemático expresso através de uma equação
diferencial querelaciona a saída com a entrada.
2- Independe da magnitude e da natureza da entrada .
3- Inclui as unidades das entradas e saídas.
4- Não fornece informações sobre a estrutura física do sistema.
5- Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se
entradas conhecidas e analisando as saídas.

Sistemas de Controle

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Prof. Josemar dos Santos

Funções de Transferência PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

GANHO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A variação da saída no estado-estacionário é calculado diretamente, fazendo S
= O. Em G(s) dá o ganho no estado-estacionário do processo, se ele existe.
O ganho no estado-estacionário é a razão entre a variação da saída com a
variação da entrada.
K=

y2 − y1 b0
=
x2 − x1 a0

Onde : 1 e 2 indicam diferentesestados-estacionários ( y e x ) .

ORDEM DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A ordem da função de transferência é a maior potência de "s" no denominador
do polinômio que é a ordem da equação diferencial equivalente. O sistema é
chamado de n-ésima ordem.

CONSTANTE DE TEMPO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Se ambos o numerador e denominador forem divididos por ao polinômio
característico (denominador) pode ser...
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