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Lei de Gauss

É a relação entre o fluxo elétrico resultante de uma superfície fechada e a carga no interior desta superfície Lei de Gauss para uma carga pontual

E ⋅ ΔAi = En ΔAi = E ΔAi
O fluxo resultante é

φE = ∫ En dA = E ∫ dA = EA φE = ⎛ ⎜ kq ⎞ ( 4π r 2 ) = 4π kq 2 ⎟ ⎝r ⎠

Mas k= 1 4πε 0 ∴ 1

∴ 4π k =

ε0

.

Logo,

φE =

q

ε0

.

A lei de Gauss afirma que o fluxo resultante através de qualquer superfície fechada é

φE = ∫ E ⋅ dA =

qin

ε0

,

qin - carga líquida no interior da superfície

Aplicação da lei de Gauss a distribuições simétricas de carga
Ex. 1 Campo elétrico devido a uma carga pontual

φE = ∫ E ⋅ dA = ∫ EdA =

q

ε0

Como E é constante sobre a superfície, então
EdA = E ∫ dA = E ( 4π r 2 ) = ∫ ∴E = ∴E = q 4πε 0 r kq r2
2

q

ε0

∴

∴

Ex. 2 Uma distribuição de carga com simetria esférica Uma esfera sólida de raio a tem uma densidade volumétrica de carga ρ. (a) Calcule a magnitude do campo elétrico em um ponto fora da esfera. (b) Encontre a magnitude do campo elétrico em um ponto dentro da esfera.

Solução: (a) φE = ∫ E ⋅ dA =

∫ EdA = ε
Q

Q
0

∴

∴ E ∫ dA = E ( 4π r 2 ) = ∴E = Q 4πε 0 r
2

ε0

∴

∴

kQ ∴E = 2 r

(b) qin - carga dentro da superfície gaussiana de volume V ′ 4 ′ = ρ ⎛ π r3 ⎞ qin = ρV ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ Como E = cte em toda a superfície gaussiana de volume V ′, temos

∫ EdA = E ∫ dA = E ( 4π r ) = ε
2

qin
0

∴

4 qin ⎝3 ⎠ = ρ r (r > a) ∴E = = 2 4πε 0 r 4πε 0 r 2 3ε 0

ρ ⎛ π r3 ⎞ ⎜ ⎟

Mas, por definição 3Q Q Q ρ= = = , 3 V 4 π a 3 4π a 3 então ⎛ 3Q ⎞ ⎜ ⎟ Q kQ 4π a 3 ⎠ ∴E = ⎝ r= r = 3 r (r < a) 3ε 0 4πε 0 a 3 a Obs.: - quando r → 0, E → 0; - quando r → a, (a) e (b) se igualam.

Representação gráfica:

Exercício O campo elétrico na atmosfera da Terra é 1,0 × 102 N/C, apontando para baixo. Determine a carga elétrica sobre a Terra. Dado: RT = 6,37 × 106 m.

Solução:

φE = ∫ E ⋅ dA = − ∫ EdA =

Q

ε0

∴ ∴

∴− E ∫ dA = − E (