Laje fungiformes

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6. SÉRIES DE FUNÇÕES
6.1: Séries de potências e a sua convergência
Definição 1.1: Uma série de potências de x − a é uma série da
forma
a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) +
2

+ an (x − a ) +
n

+∞

= ∑ an (x − a ) .
n

(1)

n =0

Uma série de potências de x − a é sempre convergente para

x = a . De facto, quando x = a , obtemos a série numérica
a0 + 0 + 0 +

, cuja soma é a0∈ IR .

Mas será que existem outros valores de x para os quais a série (1)
é convergente? O teorema seguinte fornece uma resposta a essa
pergunta.
Teorema 1.2: Teorema de Abel- séries de potências de x − a
+∞

Dada a série de potências

∑ an (x − a )n ,

apenas uma das

n=0

seguintes situações se verifica:
(i)

a série converge apenas para x = a ;

(ii)

a série converge(absolutamente) para todos os valores
reais de x;

1

(iii)

existe um número real R > 0 (chamado raio de
convergência) tal que a série converge absolutamente
para todos os valores de x para os quais x − a < R , e
diverge para todos os valores de x para os quais
x − a > R.

Nota: No teorema anterior, quando se verifica (i) tem-se R = 0 e
quando se verifica (ii) tem-se R = +∞ .Definição 1.3: Chama-se intervalo de convergência da série de
potências ao conjunto de todos os valores de x para os quais a
série converge.

Nota: Para estudar a convergência de uma série de potências,
podemos aplicar o critério de Cauchy ou de D’Alembert a série
dos módulos.

Exemplo 1.4: Determine o intervalo de convergência da série de

(− 1)n x 2 n .
potências ∑
n = 0 (2n )!
+∞Vamos agora ver duas regras para o cálculo do raio de
convergência de uma série de potência de termos não nulos.

2

Teorema 1.5: O raio de convergência de uma série de potências
+∞

da forma

∑ an (x − a )n

é dado por

n=0

R = lim

n→+∞

an
, desde que o limite existe ou seja igual à + ∞ ;
an+1

ou R = lim

n→+∞ n

1
, desde que o limite existe ou seja igual à + ∞ .an

Além disso,
(i)

se R = 0 então a série converge para x = a ;

(ii)

se R = + ∞ então a série converge ∀x ∈ IR ;

(iii)

se R ∈ ]0,+∞[ então a série converge pelo menos para
todos os x ∈ ]a − R, a + R[ .

Exemplo 1.6: Determine o raio e o intervalo de convergência da
+∞

série

n!
∑ 2n + 1(x − 1)n .
n =0

Exemplo 1.7: Determine o raio e o intervalo de convergência da+∞

série

1

∑ nn xn .

n=0

+∞

Exercício 1.8: Analise a convergência da série



n=0

( x − a )n , sendo
bn

b > 0.
3

6.2: Séries de Taylor e de Maclaurin
Nesta secção, vamos considerar o problema seguinte: dada uma
função com derivadas de todas as ordens, como representá-la por
uma série de potências?

Definição 2.1: Seja f uma função que admite derivadas detodas
as ordens no ponto a. Chama-se série de Taylor de f em a a série
f (n ) (a )
∑ n! (x − a )n .
n=0
+∞

No caso em que a = 0 , a série é designada por série de
Maclaurin de f.
Exemplo 2.2: Determine a série de Maclaurin para f ( x ) = senx .

Exemplo 2.3: Determine a série de Maclaurin da função

f (x ) =

1
e analise a sua convergência.
1− x

Exemplo 2.4: Determine a sériede Maclaurin da função
f ( x ) = e x e analise a sua convergência.

Teorema 2.5: Seja f uma função que admite derivadas de todas as

ordens num intervalo I centrado em a, então
f (n ) (a )
f (x ) = ∑
( x − a )n ,
n!
n =0
+∞

4

f ( n +1) (c )
( x − a )n +1 = 0, sendo c um
para todo x ∈ I tal que lim
n→+∞ (n + 1)!
número compreendido entre a e x.
f (n+1) (c )
( x − a )n+1 échamado resto
Nota: (1) Para x ≠ a , Rn ( x )=
(n + 1)!

de Lagrange da função f.

(2) Se existir duas constantes C e M tais que
f (n +1) ( x ) ≤ CM n , ∀x ∈ I , então lim Rn ( x )= 0, ∀x ∈ I .
n→+∞

6.3: Séries de Fourier
6.3.1. Definições

Em muitos fenómenos da vida real aparecem funções periódicas
(ondas de som, batimento cardíaco…)

Definição 3.1: Diz-se que a função f é...
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