Lagrange

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Equações de Lagrange


Até agora foi visto que as equações de movimento de um sistema podem ser obtidas através:
– –

da segunda Lei de Newton Princípio de D'Alembert



Uma outra forma de se obter estas equações é através das equações de Lagrange, cujo princípio básico é o princípio de Hamilton:


“De todos os caminhos possíveis que um sistema dinâmico pode seguir de um pontopara outro em um determinado intervalo de tempo, o caminho percorrido é o que minimiza a integral de tempo do lagrangiano (diferença entre a energia cinética e potencial).”
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br 1

Equações de Lagrange


Para sistemas conservativos, as equações de movimento são obtidas usando a equação de Euler Lagrange: d ∂L ∂L


dt ∂ x i ∂ x i ˙onde L é o lagrangiano (L = Ec_res – Ep_res). Ec_res é a soma de toda a energia cinética do sistema, Ep_res, a soma da energia potencial, e x i são as coordenadas envolvidas no sistema.



=0



Para sistemas não conservativos, é incluído a força dissipativa e/ou força externa da variável i.
d ∂L ∂L − =Q i dt ∂ x i ∂ x i ˙
Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br2

Equações de Lagrange


Exemplo 1: Encontre as equações de movimento do sistema abaixo usando as equações de Lagrange.
1 E k = k x2 2
res

O lagrangeano para este problema é: A equação de movimento para este problema pode em função de x ou θ
res translação rotação

L= E c −E k
res

res

3 2 1 L= m x − k x 2 ˙ 4 2

Q é nulo pois não existe força externa ou dissipativa nestesistema.

E c =Ec Ec d ∂L ∂L − =0 1 2 1 2 dt ∂ x ∂ x ˙ ˙ Ec = m x  J  ˙ 2 2 d ∂L 3 2 = mx ¨ 1 2 1 1 2 x ˙ dt ∂ x 2 2k x ˙ Ec = m x  mr ˙ x =0 ¨ 2 22 r ∂L 3m 3 2 =−kx Ec = m x ˙ ∂x 4 Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br
res res



res

3

Transformadores Mecânicos


Exemplo 2: Encontre a equação de movimento do sistema abaixo. Quando y = 0 e F1 = 0, osistema está em equilíbrio estático. Considere pequenas oscilações.

res res

Como se trata de um sistema rotacional, a coordenada que podemos usar é θ. 1 ˙2 1 2 Ec = J θ Ek = k y 2 2

res res

A massa m é pontual, e y ≈ rbθ. 1 2 2 2 ˙ 1 L=E c − E k = m r b θ − k (θ r b ) 2 2 ● Para sistemas rotacionais, Q representa os torques externos. ˙ b Q=F 1 r a −b y r b =F 1 r a −b θ r 2 ˙ d ∂L∂L − =Q ˙ dt ∂ θ ∂θ
2 2 ˙ 2 ¨ m r b θ−(−k θ r b )=F 1 r a−b θ r b y y y ¨ ˙ m r 2 +b r 2 +k r 2 =F 1 r a b rb rb b rb b ra m y +b y +k y=F 1 ¨ ˙ rb

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Sistema Equivalente


Exemplo 3: Um redutor de velocidades é ilustrado na figura a). Por simplicidade, vamos considerar que as engrenagens possuem momentos de inércias J1 eJ2. As velocidades de rotação dos eixos e o número de dentes do motor e da carga valem, respectivamente, ω 1,N1 e ω2,N2. Encontre o sistema equivalente em relação ao eixo do motor (figura b).

Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail: sharondantas@ect.ufrn.br

5

Sistema Equivalente


Continuação do exemplo 3



O lagrangeano para o sistema acima só leva em conta a energia cinética epotencial elástica resultante 2
E C =E C + EC
r 1
r

2

E K =E K1 + E K2

ω1 N 1 1 1 2 1 2 2 1 E C = J 1 ω 1 + J 2 ω 2= J 1 ω 1 + J 2 2 2 2 2 N2 2 θ1 N 1 1 1 2 1 2 2 1 E K = K 1 θ1 + K 2 θ2= K 1 θ1 + K 2 2 2 2 2 N2
r r

1 2 1 L= J 1 ω 1 + J 2 2 2

( )(

ω1 N 1 θ1 N 1 1 2 1 − K 1 θ1 + K 2 N2 2 2 N2

2

( ) ( ) ( ))
2

Prof. Sharon Dantas da Cunha. E-mail:sharondantas@ect.ufrn.br

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Sistema Equivalente


N1 ˙ ˙ Q=−B1 θ1− τ 1=−B1 θ1− τ 2 N2 2 N N ˙1−B2 θ2 1 =−B1 θ1 −B 2 θ1 1 ˙ ˙ ˙ 2 Q=−B1 θ N2 N2

Continuação do exemplo 3: O termo “Q”, que corresponde aos torques externos e não-conservativos, neste sistema é devido aos amortecedores de torção.
Leva-se em conta os torques de transmissão, e que não existem perda de potência na transmissão.


d ∂L ∂L −...
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