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ALGA

28.09.09

Sistemas de equações lineares e matrizes
Exemplo 1. Seja o sistema de 3 equações lineares em 3 incógnitas  4y + 3z = 2  x −z =0 (S)  2x − 8y − 4z = 4 ao qual se associa o quadro seguinte   0 4 3 2 0 −1 0  A= 1 2 −8 −4 4 Este quadro designa-se por matriz ampliada do sistema Resolução do sistema:  4y + 3z = 2  x −z =0 (S)  2x − 8y − 4z = 4 1. Trocar as equações (E1 ) e (E2 )  −z =0  x 4y + 3z = 2 (S1 )  2x − 8y − 4z = 4 2. Eliminar x na equação (E3 ) multiplicando (E1 ) por −2 e somando-a a (E3 )  −z =0  x 4y + 3z = 2 (S2 )  −8y − 2z = 4 3. Eliminar y na equação (E3 ) multiplicando (E2 ) por 2 e somando-a a (E3 )  −z =0  x 4y + 3z = 2 (S3 )  4z = 8

4. Simplificar (E2 ) e (E3 ) multiplicando cada equação por  −z =0  x y + 3z = 1 (S4 ) 4 2  z=2

1 4

3 5. Eliminar z na equação (E2 ) multiplicando (E3 ) por − 4 e somando-a a (E2 )   x −z =0 y = −1 (S5 )  z=2

Finalmente, chegamos à solução x = 2, y = −1, z = 2. Matriz do sistema Vamos registar as operações sucessivas efectuadas nas equações do sistema fazendo transformações nas linhas da matriz ampliada.   0 4 3 2 0 −1 0  A= 1 2 −8 −4 4   1 0 −1 0 4 3 2  1. Trocar as linhas L1 ↔ L2 A1 =  0 2 −8 −4 4   1 0 −1 0 4 3 2  2. Substituir L3 por L3 − 2L1 A2 =  0 0 −8 −2 4   1 0 −1 0 3 2  3. Substituir L3 por L3 + 2L2 A3 =  0 4 0 0 4 8   1 0 −1 0 3 1  4. Multiplicar L2 e L3 por 1 A4 =  0 1 4 2 4 0 0 1 2   1 0 −1 0 0 −1  5. Substituir L2 por L2 − 3 L3 A5 =  0 1 4 0 0 1 2 2

Chegámos ao último passo:  1 0 0 2 6. Substituir L1 por L1 + L3 A6 =  0 1 0 −1  0 0  1 2  x=2 y = −1 a matriz que representa a solução do sistema  z=2 Do exemplo à teoria Equação linear Definição 2. K denota R ou C Sejam a1 , a2 , . . . , an , b elementos de K e x1 , x2 , . . . , xn incógnitas. 1. Chama-se equação linear nas incógnitas x1 , x2 , . . . , xn sobre K à expressão a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b (E) 2. Uma solução da equação linear (E) é qualquer n-tuplo (s1 ,