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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA
APOSTILA I – EXAME DE QUALIFICAÇÃO UERJ
ALUNO(A): ________________________________________________

AULA 1: Relações trigonométricas no triângulo retângulo / Adição de arcos - GABARITO

1) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede , o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede:

a) b) c) d)

Solução. Considerando o ângulo BAE como 2x e AF sendo a bissetriz, o ângulo BAE mede x. O lado BF está oposto ao ângulo x no triângulo retângulo ABF. Pela relação trigonométrica envolvendo tangente, temos que . Os ângulos BAE e AED são alternos internos, pois AB//DC. Logo o ângulo AED também possui medida 2x. Utilizando a relação da tangente novamente no triângulo retângulo ADE, temos: .

OBS: Relembrando a adição de arcos para tangentes: .

Voltando ao problema, . 2) Na figura abaixo, o quadrilátero ABCD está ins­crito numa semicircunferência de centro A e raio AB = AC = AD = R. A diagonal forma com os lados e ângulos α e β, respectivamente. Logo, a área do quadrilátero ABCD é:

a) b) c)
d) e)

Solução. Os triângulos ACB e DCA são isósceles, pois possuem dois lados iguais a R. Conhecendo dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, calculamos as áreas:

i) .

ii) .

iii) .

3) Com relação ao ângulo α da figura, podemos afirmar que tg 2α vale:

a) b) 1 c) d) e)
Solução. Encontrando o valor do cateto oposto ao ângulo α, e calculando a tangente, temos: .

Utilizando a fórmula da adição de arcos para tangentes, temos:

.

4) Observe a matriz a seguir. Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado:

a) 1 b) sen x