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Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
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MODULO 1 – AULA 1

Aula 1 – Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
co
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a
Objetivo
• Apresentar as fun¸˜es de v´rias vari´veis.
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Introdu¸˜o
ca
A partir desta aula, at´ o fim do semestre, o foco de nossas aten¸˜es ser´
e
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as fun¸˜es de v´rias vari´veis. Vocˆ j´ estudou as fun¸˜es reais e vetoriais
co
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a
ea
co
de umavari´vel que servem para descrever fenˆmenos que dependem de um
a
o
unico parˆmetro ou vari´vel. Como exemplos, vocˆ pode tomar a posi¸˜o
´
a
a
e
ca
de uma part´
ıcula, a sua velocidade e a sua acelera¸˜o. Nesses casos, os
ca
fenˆmenos variam em fun¸˜o do tempo. No entanto, h´ diversas situa¸˜es
o
ca
a
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nas quais o resultado depende de mais de uma vari´vel. Vamos a um exemplo.
aPodemos usar uma fun¸˜o para descrever as diversas temperaturas em
ca
diferentes pontos de uma dada placa de metal. Isto ´, a cada ponto P da
e
placa associamos a sua temperatura T (P ), dada em graus Celsius, digamos.
Muito bem; para determinarmos um ponto em uma placa, precisamos
de duas informa¸˜es: uma latitude e uma longitude. Isto ´, necessitamos de
co
e
duas coordenadas. Ou seja,T ´ uma fun¸˜o de duas vari´veis.
e
ca
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Veja uma outra situa¸˜o. Dado um corpo com a forma de um paraleca
lep´
ıpedo, podemos associar a cada um de seus pontos P a densidade δ (P )
do objeto nesse exato ponto. Isso nos d´ uma fun¸˜o δ , que depende de trˆs
a
ca
e
vari´veis, uma vez que, para localizar um ponto no paralelogramo, necessia
tamos de trˆs informa¸˜es: altura, largura eprofundidade.
e
co
Vocˆ seria capaz de imaginar uma situa¸˜o que demandasse uma fun¸˜o
e
ca
ca
de quatro vari´veis para descrever um determinado fenˆmeno?
a
o

Fun¸oes de duas vari´veis

a
Chamamos fun¸˜es de duas vari´veis as fun¸˜es do tipo
co
a
co
f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,
cuja lei de defini¸˜o tem a forma
ca
z = f (x, y ).
7

CEDERJ

Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
co
aa

Isto ´, x e y s˜o as vari´veis independentes. O subconjunto A de lR 2 ´
e
a
a
e
o dom´
ınio da fun¸˜o.
ca
Exemplo 1.1
ca
Seja f : lR 2 −→ lR a fun¸˜o definida por f (x, y ) = x + 2y .
Este exemplo ´ bem simples. Esta fun¸˜o de duas vari´veis ´ chamada,
e
ca
a
e
´
na Algebra Linear, de um funcional linear.
As fun¸˜es de duas vari´veis tˆm um papel importante no nosso estudoco
a
e
de fun¸˜es de v´rias vari´veis, pois podemos esbo¸ar seus gr´ficos. Em geral,
co
a
a
c
a
o gr´fico de uma fun¸˜o de duas vari´veis ´ uma superf´ em lR 3 . No caso
a
ca
a
e
ıcie
em quest˜o, esta superf´ ´ um plano que cont´m a origem. Sua interse¸˜o
a
ıcie e
e
ca
´
com o plano xOz ´ a reta z = x e com o plano yOz ´ a reta z = 2y . E claro
e
e
que na figura representamosapenas parte do plano. Veja a seguir.

z

x

y

Em geral, representamos o espa¸o tridimensional com o plano z = 0,
c
gerado pelos eixos Ox e Oy , fazendo o papel de ch˜o onde estamos, o plano
a
x = 0, gerado pelos eixos Oy e Oz , como se fosse uma parede ligeiramente a
`
nossa frente e o plano y = 0, gerado pelos eixos Ox e Oz , como se fosse uma
outra parede ligeiramente a nossaesquerda.
`
Note, tamb´m, que representamos apenas parte da superf´
e
ıcie. Na verdade, o gr´fico da fun¸˜o ´ um plano e, como tal, deve continuar em todas as
a
ca e
dire¸˜es. No entanto, limitamo-nos a representar sua interse¸˜o com o plano
co
ca
zOy , fazendo x = 0, obtendo a reta z = 2y , e a sua interse¸˜o com o plano
ca
zOx, fazendo y = 0 e obtendo a reta x = x. Al´m disso, naregi˜o x ≥ 0,
e
a
y ≥ 0, desenhamos apenas uma parte do plano, sobre um dom´ triangular.
ınio
´
E bom acostumar-se com essas representa¸˜es. Temos de contar com a
co
ajuda delas para visualizar a geometria das fun¸˜es de v´rias vari´veis.
co
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a
CEDERJ

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Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
co
a
a

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MODULO 1 – AULA 1

A seguir, mais duas fun¸˜es com seus gr´ficos.
co
a...
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