Isomorfos

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Algumas definições:

( Função Sobrejetiva: Também chamada de sobrejeção. É uma função em que todo elemento do conjunto de chegada está associado a algum elemento do conjunto de partida. É uma função na qual não "sobra" nenhum elemento no conjunto de chegada, isto é, todo elemento do conjunto de chegada representa algum elemento do conjunto de partida.

Simbolicamente:

f : A ( Bé sobrejeção se e somente se f (A) = B

[pic]

( Função injetiva: Uma função f : A (B é injetiva quando quaisquer dois elementos distintos do Dom(f ) tem representantes distintos em B. Ou seja, f é injetiva se para todos a1, a2  Є  Dom(f ) tivermos a1 ≠ a2 acarretando f (a1) ≠ f (a2). Uma definição equivalente é dizer que uma função f é injetiva se a1 = a2 sempre que f (a1) = f (a2).Simbolicamente temos:
f é injetiva se, e somente se a1, a2 Є Dom (f ), a1 ≠ a2 ( f (a1) ≠ f (a2)
ou equivalente
f é injetiva se, e somente se a1, a2 Є Dom (f ), f (a1) = f (a2 ) ( a1 = a2






( Bijeção : Uma bijeção é o mesmo que função bijetora ou função bijetiva.

Uma bijeção é uma função total que é injetiva e sobrejetiva. Em outras palavras, uma bijeção é uma função(total) de A em B que admite função inversa (de B em A)








Isomorfismo: do grego “iso= igual morphos= forma”

Uma estrutura é isomorfa se existir uma bijeção que leva elementos de um conjunto em elementos do outro de modo que as propriedades relevantes são preservadas. Se duas estruturas são isomorfas, cada um é uma imagem espelhada do outro, com os elementos renomeados, masessencialmente iguais.

Para que [S,•] e [T, +] são grupos isomorfos é necessário que exista uma bijeção entre S e T que
realize este novo rotulamento. Esta bijeção precisa também preservar os efeitos da operação binária; isto é, "operar e mapear" deve produzir o mesmo resultado que "mapear e operar".

Sejam [S,*] e [T,+] grupos. Um aplicação f: S ( T é um isomorfismo de [S,*] em [T,+] se:

1. Afunção f é uma bijeção,
2. Quaisquer que sejam x, y Є S, f(x * y) = f(x) + f(y).

A propriedade (2) significa que f é um homomorfismo.

Um homomorfismo é uma aplicação que preserva uma dada estrutura. As funções consideradas naturais entre duas estruturas algébricas do mesmo tipo, são aquelas que preservam as operações, ou seja, transformam uma soma de elementos no domínio na soma desuas imagens e transformam um produto de elementos no domínio no produto de suas imagens.

Sejam (G,*) e (H, +) grupos, e f uma função de domínio G e contra-domínio H.
Então f é um homomorfismo de grupos se, e somente se:
                                         
x, y Є G, f(x * y) = f(x) + f(y)


Propriedade de homomorfismo na definição de isomorfismo degrupos através de um diagrama comutativo:

x,y • x ∙ y

f f


f(x),f(y) f(x . y) = f(x) + f(y)
+

Para enfatizar ainda mais de que grupos isomorfos são iguais, exceto por mudanças de nome, vamos mostrar que um isomorfismo leva a identidadede um grupo na identidade do outro grupo e leva inversas em inversas. Além disso, se um grupo é comutativo, o outro também é.

Suponha que f é um isomorfismo de [S, *] em [T,+] e que is e iT são suas respectivas identidades. A função f leva is em um elemento f (is) em T. Seja t um elemento qualquer de T. Como f é sobrejetora, t = f (s) para alguns s em S.
Então:

f (is) + t = f(is) + f(s)= f (is ∙ s) (pois f é um homomorfismo)
= f (s) (pois is, é o elemento neutro de s)
= t

Portanto,
f (is) + t = t ↔ t + f (is) = t

Logo, o elemento f (is) age como a identidade em [T, +]; pela unicidade do elemento identidade, temos que f (is) = iT.



Exemplo 01:

Prove que se f é um isomorfismo...
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