Interlolacao

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UNISUL - Universidade do Sul de Santa Catarina
Campos da Grande Florianópolis
Engenharia Elétrica – Telemática
Cálculo Numérico – Professora Kellen Regina
Jonas Pontes da Costa Lourenço
Marcos André Brum Moskorz

Interpolação de Imagem

Palhoça
2010

Introdução
A interpolação é um processo utilizado por scanners, câmeras digitais, entre outros dispositivos, suportado tambémpela maioria dos programas de tratamento de imagens que permite aumentar artificialmente a resolução das imagens.
Esse método permite construir uma função aproximada, apenas conhecendo algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens). Onde a função resultante passará pelos pontos fornecidos, e, em relação aos outros pontos, fará um mero ajuste.
Neste trabalho, faremos a apresentaçãodo Método de Newton que se trata de uma fórmula alternativa para o cálculo do polinômio interpolador, a partir dos polinômios de graus inferiores. Para estabelecer essa fórmula é necessário o conhecimento de diferença dividida.
Este trabalho tem como objetivo estudar o método de interpolação Newton aplicado à interpolação de imagens.

Método de interpolação por divisão de diferenças (Newton)
Ométodo de interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos em determinados pontos, Newton desenvolveu uma forma de se obter o polinômio através das “Diferenças divididas”.
As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos suficientemente próximos. No calculo do polinômio interpolador deLagrange, a adição de mais um ponto (Xn+1,Yn+1) ao suporte de interpolação obriga a que se refaçam todos os cálculos de novos polinômios, é muito frequente que se testem diferentes suportes interpolação variando o número de pontos considerado, de forma a obedecer a condições de limite do erro de interpolação, |f (x) − pn (x)| ≤ M, com M constante positiva. O polinômio interpolador de Newton comdiferenças divididas permite contornar esse problema.
Este polinômio interpolador surge de uma construção recursiva, extremamente simples, a partir da definição de diferença dividida.

De um modo geral, a diferença dividida de ordem k (k ≥ 2) de f(x), relativamente aos argumentos xi, xi+1, . . . , xi+k, é a quantidade.

As diferenças divididas localizam-se na tabela da seguinte forma:
1. Asdiferenças divididas f [x0, x1, x2, . . . , xn] são invariantes para qualquer variação dos índices de suporte, isto é, são funções simétricas nos seus argumentos: qualquer que seja a ordem dos xi o valor de
f [x0, x1, x2, . . . , xn] mantém-se.

2. Tem-se

3. Dado um polinômio de grau ≤ n, pn(x) = a0 +a1x+a2x2 +・ ・ ・+anxn, vem que.

4. Sendo f(x) uma função n vezes diferençável num intervalo [a, b]que contém n + 1 pontos distintos x0, x1, x2, . . . , xn, então

Vejamos como se obtém o polinômio interpolador de Newton.
Das diferenças divididas:

Com isso temos:

Procedendo sucessivamente deste modo, utilizando o fato que da diferença de ordem k + 1,

Conclui-se que

Obtendo-se

O polinômio interpolador de Newton é:

Aplicação da interpolação por divisão
Interpolação de ImagemO método de interpolação por divisão é utilizado no tratamento de imagens e tem como objetivo melhor a qualidade de imagem quando se tem uma ampliação da mesma.
A imagem está disposta em uma matriz bi-direcional [Y=Yij], cujos elementos indicam a intensidade do ponto relativo a sua posição em uma imagem monocromática esta intensidade indica a luminância no ponto.
Os pontos da imagemdenominados “pixel” em seu conjunto formam a imagem representada, no entanto trata-se em geral apenas de uma representação discreta de uma realidade contínua. Ao ampliar-se uma imagem os pixels deverão ficar maiores evidenciando a característica discreta da representação, a imagem apresentará um efeito indesejável denominado de “mosaico” com grandes descontinuidades entre um pixel e outro.
Na verdade...
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