integral

1)Integrais duplas: resumo
Exemplo 1 Calcule

Exemplo 2 Calcule

O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e 2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua, então as duas integrais iteradas são sempre iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante.

Entretanto, uma boa escolha da ordem pode simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode não ser possível calcular a integral dupla para uma escolha e ser possível para outra. Veremos isso mais tarde com exemplos.

Exemplo 3 Calcule as integrais abaixo:

a)
b)
c)

4.1 Teorema:
Seja R o retângulo definido pelas desigualdades , . Se f(x,y) for contínua neste retângulo, então:

Exemplo 4 Calcule integral dupla , sendo R a região que consiste de todos os pontos ( x,y) tais que e .

Exemplo 5
Calcule a integral , no retângulo .

Obs: Freqüentemente o retângulo é expresso como por simplificação.

Exemplo 6
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pelo retângulo .

Exemplo 7
Calcule , onde
4.2 Integrais duplas sobre regiões genéricas

4.2.1 Definição 1
a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à direita por retas verticais x=a e x = b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y=g1(x) e y = g2(x) , onde g1(x)  g2(x) para a  x b .

b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y = d e é limitada à esquerda e à direita por curvas contínuas x=h1(y) e x = h2(t) , onde h1(y)  h2(x) para c  x d

Veja Fig 1 e Fig. 2.

Figura 1 Tipo I

Figura 2 Tipo II

4.2.2 Teorema
a) Se R é uma região do tipo I então:

b) Se R é uma região do Tipo II, então:

Exemplo 8
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de , inferiormente pela região delimitada por x=0 , x= 2 , y =0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

Resolução:
Representamos na Fig. 3 a região