Integral

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Apostila 2012
Objetivo(s): Contextualizar o conceito de Cálculo Integral I, dando ênfase as técnicas especiais de integração e suas principais aplicações na Engenharia.

Professora: Ana Flávia Guedes Greco Curso: Engenharia Disciplina: Cálculo Integral I

Aula 1: Introdução ao Cálculo Integral
1.1 Introdução Até o momento, nosso problema era: dada a função obter a suaderivada. A partir de agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? A operação contrária à diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou anti-derivada. Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F’(x) = f(x) para todo x em l. f(x). Mas não existe uma única integral, note, por exemplo, que: G(x) = x4+ x2 + x + 5 também é uma anti-derivada de f pois G’(x) = f(x0). Na verdade, qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + c onde C é uma constante qualquer, será uma integral de f. 1.2 Notação A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma função encontrada. O símbolo ʃ denota a operação de integral, e escrevemos:

EXEMPLO: Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1.F(x) = x4 + x2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 =

∫ f ( x)dx = F ( x) se e somente se

dF ( x) = f ( x) dx

A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a expressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração Indefinida. Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função,temos algumas regras, que veremos a seguir.

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1.3 Regras de Integração: Integrais Imediatas Pelo fato de integração e diferenciação serem operações inversas uma da outra, descobrimos muitas das regras de integração tentando inicialmente “adivinhar” a antiderivada f da função f a ser integrada. Tal resultado é então verificado demonstrando-se que f ’ = f. Em algumassituações “adivinhar” a antiderivada não é muito trivial, então as regras de integração podem nos auxiliar. A seguir, serão apresentadas algumas delas: a) Integral Indefinida de uma constante:

b) Regra da Potência:

c) Integral Indefinida de um múltiplo constante de uma função:

d) Regra de uma função exponencial:

e) Integral Indefinida da função f(x) = 1/x ou f(x) = x-1

EXEMPLOS:
(A)

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(B)

(C)

(D)

(E)

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EXERCÍCIOS
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PARTE I 1. Resolva as seguintes Integrais Imediatascom o auxílio da Tabela a) I = x dx b) I = (3 x + 1) dx



e) I = (35 x 2 + 3) dx f) I =





x2 +1 ∫ x dx

c) I = (3 x 2 + x +



1 ) dx x3

g) I = 

∫ x + e ∫ (x
2

1

x

 dx 

d) I = ( x +



1 ) dx x2

h) I =

+ sen x dx

)

PARTE II Se f´(x) = g´(x) para todo x no intervalo I e se, para alguma x0 em I, f(x0) = g(x0), então f(x) = g(x) em I.Desse resultado, se f admitir uma primitiva em I e se x0, y0 forem dois reais quaisquer, com x0 ∈ I, então existirá uma única função y = y(x), x∈ I, tal que

 dy  = f ( x), x ∈ I  dx  y ( x0 ) = y (0).   dy 2  =x Exemplo: Determine a única função y = y(x), definida em R, tal que  dx  y ( 0) = 2 
Resolução:

dy x3 2 2 = x ⇒ y = ∫ x dx = Se + k , a condição y(0) = 2, significa que, parax =0, devemos ter y dx 3
= 2. Agora basta determinar k para que esta condição seja satisfeita.

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x3 x3 y= +2 Substituindo x = 0 e y = 2 em y = + k , temos que k = 2. Assim, temos a função 3 3
EXERCÍCIOS: 1. Determine a função y =y(x), x>0, tal que:

1  dy  = 2 a)  dx x  y (1) = 1 

1  dy  = 3+ b)  dx x  y (1) = 2 

2. Uma partícula desloca-se sobre o...
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