Integral

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13 Integral Definida
Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b . O resultado é um número que depende apenas de a e b, e não de x. Vejamos a definição:

Definição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura ∆x = (b − a ) / n eseja x j um número pertencente ao jésimo intervalo, para j = 1, 2, ..., n. Neste caso, a integral definida de f em [a, b], denotada por


a

b

f ( x)dx , é dada por


a

b

n  f ( x)dx = lim ∑ f ( x j ) ∆x , se este limite existir. n → +∞  j =1 

Pode-se mostrar que se a função y = f (x) é contínua em um intervalo [a, b] , então ela é integrável em [a, b] .

Interpretaçãogeométrica:
Suponha que y = f (x) seja contínua e positiva em um intervalo [a, b] . Dividimos este intervalo em n sub-intervalos de comprimentos iguais, ou seja, de comprimento ∆x =

b−a , de n

modo que a = a0 < a1 < a2 < ... < an = b. Seja xj um ponto qualquer no sub-intervalo [a k −1 , a k ] , k = 1, 2,..., n . Construímos em cada um desses sub-intervalos retângulos com base ∆x e altura f( x j ) , conforme a figura abaixo:

A j = f ( x j )∆x

f(x)

a

xj

b

A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada pelo somatório das áreas de cada um deles, isto é:

117

 n  Aretângulos = ∑ f ( x j ) ∆x .  j =1 
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, ∆x diminui, e

conseqüentemente o somatório anterior converge para a área A da regiãolimitada pelo gráfico de f e pelas retas y = 0, x = a e x = b. Portanto, a área desta região é dada por

 n  A = lim ∑ f ( x j ) ∆x . n →∞  j =1 
Mas este limite é exatamente igual à definição de integral definida e com isso observamos que a integral definida de uma função contínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a

área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo-x epelas retas x = a e x = b.

Observação: Na definição de integral definida consideramos uma função contínua qualquer,
podendo assumir valores negativos. Nesse caso o produto f ( x j )∆x representa o negativo da área do retângulo. Portanto, se f ( x) < 0 para x œ [a,b], então a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo-x e pelas retas x = a e x = b é dada por A = − ∫ f ( x)dx .
a bO cálculo de uma integral definida através de sua definição pode ser extremamente complexo e até inviável para algumas funções. Portanto, não a utilizamos para calcular integrais definidas, e sim um teorema que é considerado um dos mais importantes do Cálculo:

Teorema Fundamental do Cálculo: Se y = f (x) é uma função contínua no intervalo [a,b] e
F ′( x) = f ( x) [isto é, F (x) é umaprimitiva ou anti-derivada f (x) ], então

∫ f ( x)dx = F ( x)
a

b

x =b x =a

= F (b) − F (a)

Propriedades da integral: Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b] , então:
b

a)

∫ c f ( x) dx = c ∫ f ( x)dx , onde c é uma constante.
a a

b

118

b)

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a b a c b c a

b

b

b

c)


a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx +∫ f ( x)dx , onde a ≤ c ≤ b
a

d)

f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] ⇒

∫ f ( x)dx ≥ 0
a b b

b

e)

f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a, b] ⇒
Se ∃ f (a) ⇒ ∫ f ( x)dx = 0 .
a a


a

f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx
a

f)

Exemplos: Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo-x e pelas
funções abaixo:

1) f(x) = 2x + 1, no intervalo [1,3].
y 7

6

5

4

3

2

1x 1 2 3 4

−1

A = ∫ (2 x + 1)dx = x 2 + x + C
1

3

x =3 x =1

= 9 + 3 + C − (1 + 1 + C ) = 10 .

Geometricamente faríamos A = Aretângulo + Atriângulo = 2 × 3 + (2 × 4)/2 = 6 + 4 = 10.

119

y 2

2) f(x) = x2 - 4x, x ∈ [1,3] .
1 x 1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

Como
3 2

f ( x) < 0, ∀ x ∈ [1, 3] ,

segue
x =3

que

a

área

da

região

é

dada...
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