Integral Tripla Alvaro

Álvaro Fernandes
Integrais triplas
Seja w  f  x , y , z  uma função contínua definida numa região fechada e limitada G do espaço. Podemos associar a G um sólido no espaço. Subdividimos G em pequenos paralelepípedos traçando-se planos paralelos aos planos coordenados. Considere apenas os paralelepípedos no interior de G, como mostra afigura abaixo.

Numeramos os paralelepípedos de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos
Gk , k  1,2 ,..., n , escolhemos um ponto interno x k , y k , z k  . n Formamos a soma de Riemman

 f xk , y k , z k Vk ,

k 1

onde Vk  x k  y k  z k é o volume

do paralelepípedo Gk . Isto é feito de maneira arbitrária, mas de tal modo que a maior aresta dos paralelepípedos Gk tenda a zero quando n   .
Se existir

lim

n

 f xk , y k , z k Vk

n k 1

,

ele é chamado de integral tripla da função f  x , y , z  sobre o sólido G e representamos por

G f x , y , z  dV
Então lim

n

 f xk , y k , z k Vk

n k 1



ou

G f x , y , z  dxdydz .

G f x , y , z  dxdydz .

Obs.: dV pode assumir qualquer uma das seis formas abaixo

dxdydz , dxdzdy , dydxdz , dydzdx , dzdxdy , dzdydx .
1

Álvaro Fernandes
Propriedades da integral tripla
As integrais triplas satisfazem as seguintes propriedades: k  f  x , y , z  dV  k  

f x , y , z  dV , sendo k uma constante real.

a)

G

b)

G f x , y , z   g x , y , z  dV  G f x , y , z  dV

c)

G

G f x , y , z  dV  G1 f x , y , z  dV





G g x , y , z  dV .

G 2 f x , y , z  dV ,

onde G  G1  G2 como

mostra a figura abaixo.

Cálculo da integral tripla
As integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga ás integrais duplas, através de integrações sucessivas.
Teorema: Seja w  f  x , y , z  uma função contínua definida sobre um sólido G do espaço limitado inferiormente pela superfície z  g 1  x , y  e superiormente pela superfície z  g 2  x , y  . Seja R a projeção de G no plano xy. Então:
 g2 