INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO TRIGINOMÉTRICA

Universidade Gama Filho
Pró-Reitoria de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Engenharia Elétrica

Integral por Substituição
Trigonométrica
Aluno: Giovani Lopes

Rio de Janeiro - 2009

•Substituição trigonométrica:
Com o uso da formula fundamental da trigonometria

A tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação por

Resultando em:

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

para para para

•Substituição trigonométrica:

CASO 1

a2  x2

 substitua por : x  a. tan(u ),
1  tan 2 (u )  sec 2 (u )

CASO 2

a2  x2

 substitua por : x  a.sen(u ),
1  sen 2 (u )  cos 2 (u )

CASO 3

x2  a2

 substitua por : x  a. sec(u ),
1  sec 2 (u )  tan 2 (u )

Sendo “a” constante

•Substituição trigonométrica:
1ª parte: Desenhar um triângulo retângulo conforme cada caso, diferenciar e achar o valor de dx

h

o

 a 2ª parte: Resolver o denominador ou achar a função trigonométrica que representa o radical sobre o a
CASO 1  sec 

a

CASO 2  cos  

a

CASO 3  tg 

a

3ª parte: Substituir os resultados no problema original e integrar

4ª parte: Substituir de volta as expressões contendo x dos passos 1 e 2 no resultado do passo 3 obtendo a expressão a partir do triângulo.

CASO 1 - Tangentes

1
 36  x² ²dx função é do tipo u²  a² sendo u  x e a  6

1ª parte: Desenhar um triângulo retângulo tg  x/6  x  6tg 

dx
 6 sec ²  dx  6 sec ²d d 2ª parte: Resolver o denominador ou achar a função trigonométrica que representa o radical sobre o a
(36  x²)²  (36  (6tg )²)²  (36  36tg ² )²  (36(1  tg ² ))²  (36 sec ² )²  1296 sec 4

sec ²

CASO 1 - Tangentes
3ª parte: Substituir os resultados no problema original

6 sec ²
1
1
1
1 d   d  d 
2
 1296 sec4 
 sec2 
 cos ² d
216 sec 
216
216
4ª parte: Integrar

 cos ²d

u  cos 

dv  cos d

du  