Integral indefinido

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Universidade do Estado do Pará

Curso de Licenciatura Plena em Matemática Pág.1

Prof. Esp. Everaldo Raiol da Silva

Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I

Universidade do Estado do Pará

Curso de Licenciatura Plena em Matemática Pág.2

Uma breve história do estudo da Integral O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema dequadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura nãomudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral. Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiõesque se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente. Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (isto é, encontrar a área de um círculo) com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu problema era o "etc., etc.". Como a quadratura do círculo de Antiphon requeria um númeroinfinito de polígonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas Antiphon tinha o início de uma grande idéia agora chamado de método de exaustão. Mais de 2000 anos depois, creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região comum número crescente de polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas; esta técnica foi modificada para atacar cubaturas também. Arquimedes (287--212 a.C.), o maior matemático da Antigüidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulosconstruídos engenhosamente e então usou o argumento da redução ao absurdo dupla para provar o resultado rigorosamente e evitar qualquer metafísica do infinito. Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de se verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas dependem de π . Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio unitáriousando polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos. Seu famoso resultado foi 3 10/71 < π < 3 1/7; mas como estas eram apenas aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas. Esta técnica refinou o método de exaustão, assim quando existe um número infinito de aproximações poligonais, chamamos de método da compressão. O processo de Arquimedes para encontrar a área de um segmento deuma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos inscritos e circunscritos: seu método de determinar o
Prof. Esp. Everaldo Raiol da Silva Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I

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volume de um conóide (um sólido formado pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era comprimir estesólido entre cilindros inscritos e circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao absurdo duplo. No seu possivelmente mais famoso trabalho de todos, um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade de certas regiões bidimensionais e de certos sólidos tridimensionais....
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