Integrais triplas em coordenadas cilindricas e esféricas

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Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
1. Coordenadas Cilíndricas
Em Geometria plana introduzimos o sistema de coordenadas polares para dar uma descrição
conveniente de certas curvas e regiões.Existem dois sistemas de coordenadas semelhantes às
polares, que conseguem nos fornecer uma descrição conveniente de algumas superfícies e sólidos.
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P noespeco tridimensional é representado
pela tripla ordenada (r, θ, z), onde r e θ são coordenadas polares da projeção de P sobre o plano xy e
z é à distância do plano xy ao ponto P, assim como mostra aFigura 1.

y

FIGURA 1
Para converter coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares utilizamos as
seguintes equações:

Já para converter coordenadas retangulares em coordenadascilíndricas, utilizamos:

Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo,
e o eixo z é escolhido para coincidir com o eixo de simetria. Por exemplo, o eixo docilindro circular
com equação em coordenadas cartesianas
ele tem uma equação muito simples dada por

é o eixo de . Em coordenadas cilíndricas
Observe a Figura 2 abaixo:

FIGURA 2
um cilindro. EXEMPLO
Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é

.

- > SOLUÇÃO: A equação diz que o valor de , ou superior, de cada ponto na superfície é igual
a , a distância doponto ao eixo

Como

não aparece, ele pode variar. Então qualquer traço

horizontal no plano

é um circulo de raio

Esses traços sugerem que a superfície é um

cone. Isso pode ser confirmadoconvertendo-se a equação em coordenadas retangulares. Da
primeira equação em (2) temos:

Reconhecemos a equação

como sendo um cone cujo eixo é o eixo de

exemplo na Figura 3.

FIGURA 3
umcone.

Veja o

2. Coordenadas Esféricas

As coordenadas esféricas
é a distância da origem a P,

de um ponto P no espaço são indicadas na Figura 4, onde
é o mesmo ângulo que em coordenadas...
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