Integrais indefinidas

A Integral Definida

A Integral Definida
Universidade Tecnol´gica Federal do Paran´ o a
Campus Francisco Beltr˜o a Disciplina: C´lculo a Professor: Jonas Joacir Radtke

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C´lculo a A Integral Definida

Defini¸˜o ca Se f ´ uma fun¸˜o cont´ e ca ınua definida em a ≤ x ≤ b, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais
∆x = (b − a)/n. Sejam x0 , x1 , ..., xn as extremidades desses
∗
∗
∗
subintervalos, escolhemos os pontos amostrais x1 , x2 , ..., xn
∗ esteja no i-´simo nesses subintervalos, de forma que xi e subintervalo [xi−1 , xi ]. Ent˜o a integral definida de f de a a b ´ a e n b

f (xi∗ )∆x

f (x) dx = lim a n→∞

i=1

desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f ´ e integr´vel em [a, b]. a Universidade Tecnol´gica Federal do Paran´ o a

C´lculo a A Integral Definida

Se f for positiva, a integral definida ´ a ´rea sob a curva y = f (x) e a de a at´ b. e Se f assumir valores positivos e negativos a integral ´ a soma das e ´reas acima do eixo x e do oposto das ´reas abaixo do eixo x. a a

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C´lculo a A Integral Definida

Exerc´ ıcio (a) Calcule a soma de Riemann para f (x) = x 3 − 6x tomando como pontos amostrais as extremidades direitas e a = 0, b = 3 e n = 6.
(b) Calcule a soma de Riemann para f (x) = x 3 − 6x tomando como pontos amostrais as extremidades esquerdas e a = 0, b = 3 e n = 6.

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C´lculo a A Integral Definida

Exerc´ ıcio Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de
´reas.
a
3

1 − x 2 dx

(a)
0
3

(x − 1) dx

(b)
0

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C´lculo a A Integral Definida

Propriedades da Integral Definida
Propriedades da Integral b a

f (x) dx = −

1

a

f (x) dx b a

f (x) dx = 0