Integrais impropias

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Universidade Federal de Alagoas
Faculdade de Arquitetura e Urbanismo
Curso de Arquitetura e Urbanismo

Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural
Disciplina:
Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 2007-2
2007Professor: Eduardo Nobre Lages

Integrais

Maceió/AL

Objetivo

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

Dividir para
conquistar.

Primitivas
Definição: Uma função F éuma primitiva (ou
antiderivada) de f(x) no intervalo I se F’(x) = f(x)
para todo x em I.

Além de F1(x) = x3, note que F2(x) = x3 + 53
também é uma primitiva de f, assim como
F3(x) = x3 – 21.
A família de todas as primitivas de f(x) = 3x2
é representada por G(x) = x3 + C, onde C
representa genericamente uma constante.

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

Exemplo: Quem é uma primitiva dafunção f(x) = 3x2 ?
Conhecendo-se a regra básica de derivação da
potência, tem-se que F(x) = x3

Notação
A operação de encontrar a família de todas as
primitivas de uma função é chamada de integral
indefinida (ou primitivação) e é representada na
indefinida
forma



Sinal de integração
Integrando

Variável de
integração

Constante de
integração

A diferenciação e aintegração são operações
inversas, no mesmo sentido de que a divisão e a
multiplicação são operações inversas.

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

f ( x)dx = F ( x) + C

Condições Iniciais e Soluções
Particulares
A integral indefinida tem infinitas soluções (cada
uma diferindo das outras por uma constante), a
exemplo de
2

)

− 1 dx = x 3 − x + C

Se se conhecer um
ponto pertencente auma curva de
interesse (condição
condição
inicial) é possível
inicial
determinar a chamada
solução particular,
calculando-se o valor
adequado de C.

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

∫ (3x

Condições Iniciais e Soluções
Particulares
Exemplo (movimento vertical):
Uma bola é jogada para cima com velocidade inicial
de 4 m/s de uma altura inicial de 1 m.

v(0) = 4 m/s

s(0) = 1 mEduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

a) Encontre a função posição dando a altura s
como função do tempo t.
b) Quando a bola atinge o chão?

Condições Iniciais e Soluções
Particulares
Exemplo (continuação):

v(t) = ?

v(0) = 4 m/s
s(t) = ?

a(t) = –9,8

m/s2

d
= [v(t )]
dt

Como v(0) = 4 m/s

v(t ) = −9,8t + C1
v(0) = 4 = −9,8(0) + C1
∴ C1 = 4

Histórico davelocidade: v (t ) = −9,8t + 4

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

s(0) = 1 m

Condições Iniciais e Soluções
Particulares
v(t) = ?

Exemplo (continuação):
v(0) = 4 m/s

s(t) = ?

v (t ) = −9,8t + 4 =
Como s(0) = 1 m

d
[s(t )]
dt

s(t ) = −4,9t 2 + 4t + C2

s(0) = 1 = −4,9(0) 2 + 4(0) + C2
∴ C2 = 1

Histórico da posição:

s(t ) = −4,9t 2 + 4t + 1

Eduardo Nobre Lages –CTEC/UFAL

s(0) = 1 m

Condições Iniciais e Soluções
Particulares
Exemplo (continuação):
Bola atingir o chão: s(t ) = −4,9t 2 + 4t + 1 = 0
Fora do
domínio físico

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

− 0,20 s
⇒ t=
 1,02 s

Propriedades

∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx
d
dx

[∫ f ( x)dx] = f ( x)

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

∫[ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

Integração
Fórmulas de Integração

∫ 0dx = C
∫ kdx = kx + C

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ e dx = e + C
x

x

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

x n +1
x n dx =
+C

n +1

De Volta ao Problema da Área
Considere a região delimitada pelo gráfico da
função f(x), o eixo x, e as retas verticais x = a e x = b.
yÁrea ?

a

b

x

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

y=f(x)

De Volta ao Problema da Área
Definição: Uma partição P de um intervalo I=[a, b]
é uma coleção finita de subintervalos de I que não
se sobrepõem e cuja união é o próprio I.

Subintervalos:
onde
Raio da partição:

Eduardo Nobre Lages – CTEC/UFAL

Uma partição geralmente é descrita especificando-se
um conjunto...
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