Integrais Duplas em COORDENADAS CARTESIANAS

Integrais Duplas sobre Regiões Limitadas ( coordenadas cartesianas)
Na integração de uma função contínua sobre uma região limitada no plano , é necessário analisarmos a região sobre a qual a função será integrada. No caso, estudaremos dois tipos de regiões:
() ou
() .

Região do tipo 1

Região do tipo 2
Considere a região de integração de f(x, y) ilustrada a seguir, Então R deve ser preenchida com retângulos em que cada elemento de área dos retângulos pode ser calculado como  Ak = yk xk. Na medida em que o número de retângulos cresce infinitamente, podemos pensar que o somatório infinito dos  Ak será aproximadamente a área da região R em questão.

Então, a integral dupla de f(x, y) sobre R será definida por:

No caso particular em que podemos interpretar a integral dupla de sobre como o volume do sólido limitado inferiormente por e superiormente pela superfície . Temos então,

Exemplo 1: Região R é retangular
Volume do sólido limitado pela superfície z = 1 − y2 e pelos planos x = −1, x = 1,y = −1 e y = 1.

V =
V =
Considere um sólido limitado superiormente por z = f(x, y) e inferiormente pela Região tipo I.

Neste caso o

Considere um sólido limitado superiormente por z = f(x, y) e inferiormente pela Região tipo II.

Neste caso o

Exemplo: Encontre o volume do prisma, representado a seguir, cuja base é o triângulo limitado inferiormente pelo eixo dos , pelas retas e superiormente pelo plano .

A região R de integração está apresentada no gráfico a seguir:

Utilizando dR = dy dx , o volume do sólido é dado por:

= 1

A integral equivalente considerando o elemento de área na forma dR = dx dy será:

Exercícios:
(1) Calcule a integral de sobre o retângulo de vértices
Resp: 4/3 (2) Dada a integral dupla

Escreva a integral equivalente e resolva a integral.

Atenção: