Infinitesimo

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LIMITE E INFINITÉSIMOS NO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Raquel Milani
Universidade de Caxias do Sul
raqmilani@yahoo.com.br
A disciplina de Cálculo Diferencial e Integral encontra-se, geralmente, no
currículo

de

cursos

de

graduação

de

diversas

ciências

do

conhecimento.

Tradicionalmente, os tópicos que fazem parte do programa dessa disciplina são
trabalhadossegundo a abordagem via conceito de limite. Dificuldades e obstáculos
epistemológicos relacionados a esse conceito, no sentido de Bachelard (1983), são
temas de pesquisas realizadas na área de aprendizagem do Cálculo (CORNU, 1983;
SIERPINSKA, 1985, 1987, e.g.). De acordo com Bachelard (1983, p.147, grifos do
autor),
[...] é em termos de obstáculos que se torna preciso apresentar o
problema doconhecimento científico. E não se trata de considerar
obstáculos externos, como a complexidade e fugacidade dos
fenômenos, nem de incriminar a fragilidade dos sentidos e do espírito
humano: é no próprio ato de conhecer, intimamente, que aparecem,
por uma espécie de imperiosidade funcional, as lentidões e as
dificuldades [...] conhecemos contra um conhecimento anterior [...].

Os obstáculosepistemológicos, nesse sentido, são conhecimentos, crenças que
funcionam num determinado contexto, por algum tempo. Quando evocadas em outro
contexto, podem não responder à nova demanda. Quando isso ocorre, esse
conhecimento torna-se um obstáculo à aprendizagem. No sentido de Bachelard, essas
crenças são positivas à aprendizagem. É por causa de sua existência que se conhece algo
novo, poisconhece-se contra um conhecimento anterior. O conhecimento antigo é
usado para se conhecer algo novo, que o incorpora. O novo só é assim, por causa do
velho. Conhece-se ao se trabalhar, através de situações conflitantes, com o
conhecimento que constituiu o obstáculo. É através do enfrentamento e superação desse
obstáculo que o sujeito se fortalece e aprende. Segundo Bachelard, o obstáculo é Anais do VIII ENEM – Comunicação Científica
GT 4 – Educação Matemática no Ensino Superior

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componente essencial do novo conhecimento a ser adquirido. Assim, ele não é
entendido como empecilho ao processo de aprendizagem.
A superação do obstáculo, no sentido de Bachelard, acontece quando se forma um
novo conhecimento que incorpora o velho como negação dialética, ou seja, o novo é
semprenovo de um antigo que não se separa dele. Reconhece-se no novo o antigo
conhecimento. Vai-se além, conservando o velho. O conhecimento novo só é assim
porque foi conhecido contra um velho conhecimento.
Cornu (1983) e Sierpinska (1983, 1985, 1987) apresentam trabalhos sobre os
obstáculos epistemológicos à aprendizagem do conceito de limite. Cornu (1983) mostra
que as concepções infinitesimaisconstituem um desses obstáculos: “É o segundo grande
obstáculo para o aluno; tudo se passa como se existissem números muito pequenos,
menores que os ‘verdadeiros’ números, mas entretanto não nulos”1 (Ibid, p.152, grifo do
autor, tradução de Luisa R. Baldino). As concepções infinitesimais são entendidas por
mim como idéias que tratam do conceito de infinitésimo, considerando esse conceitodesde o tempo em que começou a ser utilizado até os dias de hoje, passando por
Leibniz, Cauchy e Robinson, apenas para citar alguns nomes. Chamo de obstáculo
infinitesimal as concepções infinitesimais dos alunos que constituem obstáculo
epistemológico à aprendizagem do conceito de limite. O obstáculo é um conhecimento
válido em um determinado contexto, mas deixa de funcionar quando inserido emoutro
contexto. Nos cursos de Cálculo tradicionais, o conceito de limite não consegue explicar
as concepções infinitesimais. Isso não implica em considerar que tais concepções não
tenham um contexto de validade, ou seja, que sejam falsas. Existe uma teoria
matemática (Análise Não-Standard) que lhes dá suporte e as legitima como
conhecimento válido.
Sabendo, portanto, da existência das idéias...
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