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08/02/13

Introdução às Funções

Introdução às Funções
Uma função é uma aplicação entre conjuntos. As funções descrevem fenómenos numéricos e podem representar-se através de gráficos sobre eixos cartesianos. O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação ou fórmula da função, já que com ela temos ànossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à variável independente, normalmente representada por x, para obter a variável dependente, normalmente representada por y. Podemos imaginar que uma função é uma máquina em que introduzimos um número x do conjunto de partida, dela saindo o número f(x).

Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar que entre doisconjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação: f:A B

Existem várias formas de expressar uma função: y = ax + b f (x) = ax + b entre outras. Se f for uma função e f(x) = y, diremos que y é a imagem de x pela função e que x é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função. Em toda a função entre dois conjuntos A nome de variável da função. Exemplificando, tomemos a função: f:N Z B oselementos do conjunto A recebem o

f(x) = 5x + 2 f (2) = 5 * 2+2 = 12, 2
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N
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diremos que 12 é a imagem de 2, e que 2 é o objecto ou anti-imagem de 12.

Funções Reais de Variável Real
Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objectos comoos do conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por: f:R R

As funções f(x) = x + 3, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x). Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pelafunção. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão: f:A R

sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.

Representação Gráfica de uma Função
Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre uma recta, o método de coordenadas cartesianas serve para representarfunções.

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Observemos os gráficos das figuras. Como podemos observar, a variável independente x é representada sobre o eixo das abcissas e a variável dependente y sobre o eixo das ordenadas.

Operações com funções Inverso da função e função inversa Função par e função ímpar Função linear e função afimOperações com Funções
1. Produto de uma função por um número real (kf )(x) = k * f(x) O produto é uma nova função, de forma que a cada valor de x corresponde k vezes o valor de f. Exemplo: f:R R

f(x) = 3x + 2 5f : R R

(5f)(x) = 5 * f(x) = = 5 * (3x + 2) = 15x + 10 2. Soma de funções Temos f(x) = 2x + 2 e g(x) = - x - 1. Se somarmos membro a membro obtemos: f(x) + g(x) = (2x + 2) + (-x - 1) =2x - x +2 -1 = x + 1 (f + g) (x) = x + 1 Vamos verificar o que obtivemos: f(1) = 2 * 1 + 2 = 4
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g(1) = - (1) - 1 = -1 - 1 = -2 f(1) + g(1) = 4 + (-2) = 4 - 2 = 2 (f + g) (1) = (1) + 1 = 2 Vemos que, para cada objecto x, somando as respectivas imagens de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor queobtemos ao calcular (f + g) (x).

Então, em geral, podemos escrever: (f + g) (x) = f(x) + g(x)

3. Produto de funções Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções, considerando f(x) = x e g(x) = -x + 2, o produto das funções será: (f * g) (x) = f(x) * g(x) = x*(-x + 2) = -x2 + 2x (f * g) (x) = -x2 + 2x Verificamos que: f(1) = 1 g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1 f(1) * g(1) = 1 * 1 = 1...
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