Homeoformismo

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Capítulo 1
Homeomorfismos entre espaços
topológica
1,1 homeomorfismo
O processo de triagem é fundamental na ciência, particularmente em matemática. Assim
Por exemplo, em espaços elAlgebra Linear vector são classificados por iso-
morfismos, na teoria dos grupos que usam isomorfismos de grupo, e assim por diante. Em topologia,
a classificação é feita por aplicações que são maisinteressantes do
espaços topológicos que são chamados homeomorfismos. Neste sentido, pode-
que este capítulo é fundamental para entender o que faz com que a topologia.
Abaixo você tem o conceito mais importante neste capítulo.
Definição 1.1.1 Uma função f: (X, τ) → (Y, τ) entre dois espaços topológicos
homeomorfismo é chamado de um pedido que é bijectiva e ambos f e sua inversa
F
- 1
sãocontínuas.
Um dos efeitos da topologia é discernir se dois espaços topológicos
ou não um homeomorfismo. Neste caso, estes dois espaços são considerados
iguais. Especificamente, o seguinte resultado é imediato:
Proposição 1.1.2
1. A identidade é um homeomofismo.
2. O inverso de um homeomorfismo é um homeomorfismo.
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CAPÍTULO 1. Homeomorfismo entre espaçostopológicos
3. A composição de dois homeomorfismos é um homeomorfismo.
Se denotamos por H ((X, τ)), ou simplesmente H (X) se a topologia é compreendido, o
conjunto de homeomorfismos de X em X, este resultado diz-nos que esse conjunto
é um grupo com a composição de aplicações, tais como operação binária. Assim, em um
espaço topológico discreto, provou que o grupo de homeomorfismos H (X)coincide com o conjunto de todos os bijections dada deel si. Além disso,
em um espaço topológico com a topologia da lei, o grupo de homeomorfismos
o espaço em si é o conjunto de aplicações e aumentar bijective.
Definição 1.1.3 Dizemos que um espaço topológico (X, τ) é homeomorfo a um
espaço (Y, τ) se existe um homeomorfismo entre (X, τ) e (Y, τ).
Seguindo a proposição 1.1.2, esta relaçãobinária é uma relação de equiv-
alencia sobre o conjunto de todos os espaços topológicos. Ele vai dizer então que o
espaços (X, τ) e (Y, τ) são homeomorfos e escrever X ~= Y. Portanto, na
conjunto de espaços topológicos, a relação de "ser homeomorphic 'determina um
conjunto quociente, onde cada uma das classes de equivalência é uma
espaço topológico e todos os outros que são homeomorphic parao espaço.
Um dos objetivos da topologia é entender e compreender este complexo co-
paciente, em um duplo sentido. Primeiro, dado um espaço topológico para saber que tipo pertence. Por outro lado, dados dois espaços topológicos, discernir se ou não em casa omorfos.
Do ponto de vista intuitivo, pode-se imaginar um homeomorfismo entre dois
espaços topológicos como uma deformação bicontinuousum do outro. Assim, para
exemplo, é difícil pensar que o gráfico de uma função contínua y = f (x) é
homeomorphic à R linha real como mostrado na figura 1.1.
Estabelece várias condições equivalentes a de um aplicativo é um homeo-
morfismo.
Teorema 1.1.4 é considerado um mapeamento bijective f: (X, τ) → (Y, τ) entre dois
espaços topológicos. As seguintes declarações são equivalentes:1. f é homeomorfismo.
2. f é contínua e f (O) ∈ τ para qualquer O ∈ τ.

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1.1. Homeomorfismo
3
G (f)
F
R
Figura 1.1: O gráfico de f é homeomorfa a R.
3. f é contínua e f (F) ∈ F para todo F ∈ F.
4. f (A) = f (A) para qualquer subconjunto A de X.
5. f é contínua e f (U) está definindo f (x) para qualquer bairro de U x ∈ X.
Também o seguinte resultado é imediato.Corolário 1.1.5 Deixe um mapeamento bijective f: (X, τ) → (Y, τ) entre os espaços
topológica. Então são equivalentes:
1. f é homeomorfismo.
2. τ = {f (O), O ∈ τ}.
3. F = {f (F) F ∈ F}.
4. Se β é uma base de τ, então f (β) é baseada em τ.
5. Se β x ambientes baseados em x ∈ X, então f (β x) É um banco de dados de ajustes
f (x) para cada x ∈ X.
6. Se x ∈ X, o sistema de bairros...
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