Hiperbole

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Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de Cristina Torres
Disciplina: Matemática A
HIPÉRBOLE

* Contextualização histórica
A palavra "hipérbole" significa excessivo.Acredita-se que este termo foi inventado por Apolónio de Perga (c. 262-c. 190 aC)  no seu trabalho sobre as seções cónicas , as Cónicas. Esta obra foi a principal obra de Apolónio, e trata-se de um tratadocomposto por oito livros (dos quais apenas sobreviveram sete) que propunha um sistema de numeração mais prático que o de Arquimedes. As secções cónicas eram conhecidas há mais de um século quando essaobra foi escrita, porém a obra de Apolónio permitiu conhecimentos mais aprofundados e específicos sobre o assunto.
A hipérbole nasceu, então, através da interseção entre um cone e um plano queatravessa as duas metades do cone, como mostra na figura:

* Hipérbole como lugar geométrico
Definição: “Hipérbole é o conjunto dos pontos tais que o módulo das distâncias a dois pontos fixos é menorque a distância entre eles. Aos pontos fixos dá-se o nome de focos e a constante é o comprimento do eixo transverso. Os pontos fixos são os focos da hipérbole. A distância entre os focos éa distância focal (2c). Ao eixo que contém os focos chama-se eixo transverso.”

* Equações da hipérbole
Tendo em conta que o eixo transverso é o eixo dos xx, designemos 3 pontos, F1, F2 e P, como mostrana figura:

Tomando as coordenadas dos pontos as referidas na figura, e a constante (referida na definição) 2ª, vem que:

De seguida, elevam-se ambos os membros ao quadrado:

Comopor definição temos 2c > 2a ou seja c > a e c2-a2>0, fazendo , vem:
, a esta equação final é chamada a equação reduzida da hipérbole com focos sobre oeixos dos xx.
Se se considerar o eixo transverso o eixo dos yy, e procedendo da mesma forma para achar a esquação reduzida anterior, obtemos então a equação reduzida da hiérbole com...
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