Hiperbole

Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico de Cristina Torres
Disciplina: Matemática A HIPÉRBOLE

* Contextualização histórica A palavra "hipérbole" significa excessivo. Acredita-se que este termo foi inventado por Apolónio de Perga (c. 262-c. 190 aC) no seu trabalho sobre as seções cónicas , as Cónicas. Esta obra foi a principal obra de Apolónio, e trata-se de um tratado composto por oito livros (dos quais apenas sobreviveram sete) que propunha um sistema de numeração mais prático que o de Arquimedes. As secções cónicas eram conhecidas há mais de um século quando essa obra foi escrita, porém a obra de Apolónio permitiu conhecimentos mais aprofundados e específicos sobre o assunto. A hipérbole nasceu, então, através da interseção entre um cone e um plano que atravessa as duas metades do cone, como mostra na figura:

* Hipérbole como lugar geométrico
Definição: “Hipérbole é o conjunto dos pontos tais que o módulo das distâncias a dois pontos fixos é menor que a distância entre eles. Aos pontos fixos dá-se o nome de focos e a constante é o comprimento do eixo transverso. Os pontos fixos são os focos da hipérbole. A distância entre os focos é a distância focal (2c). Ao eixo que contém os focos chama-se eixo transverso.”

* Equações da hipérbole Tendo em conta que o eixo transverso é o eixo dos xx, designemos 3 pontos, F1, F2 e P, como mostra na figura:

Tomando as coordenadas dos pontos as referidas na figura, e a constante (referida na definição) 2ª, vem que:

De seguida, elevam-se ambos os membros ao quadrado:

Como por definição temos 2c > 2a ou seja c > a e c2-a2>0, fazendo , vem: , a esta equação final é chamada a equação reduzida da hipérbole com focos sobre o eixos dos xx. Se se considerar o eixo transverso o eixo dos yy, e procedendo da mesma forma para achar a esquação reduzida anterior, obtemos então a equação reduzida da hiérbole com