Hiperbole

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1.INTRODUÇÃO

O presente trabalho foi elaborado com o objetivo de ampliar os nossos conhecimentos em geometria analítica, mais precisamente a cerca da hipérbole suas propriedades e aplicações.









































2. DESENVOLVIMENTO

2.1 Definição

A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que nãopassa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície.

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é quetemos por definição:
½ PF1 - PF2 ½ = 2 a
[pic]
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida comdistancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole,enquanto que B1B2é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.


2.2 Equações

2.2.1 - Exemplos
1- A distância entre os focos da cônica 3x²-y²-9=0 é:
Resolução:
3x²-y²-9=0
Como temos 3x²-y², sabemos que trata-se de uma hipérbole, se fosse 3x²+y² seria uma elipse, fiqueatento, precisamos deixar a equação nesse formato:
(x-xo)² - (y-yo)²= 1
   a²         b²
Então:
3x²-y²-9=0
3x²-y²=9
Se dividirmos tudo por nove, o segundo membro da equação fica 1, como no formato que precisamos:
3x² - y² = 9
9    9   9

x² - y² = 1
3    9

Pronto, agora temos a e b, podemos achar c:
a²=3  b²=9
a=√3  b=3

c²=a²+b²
c²=√3²+3²
c²=3+9
c=√12
c=2√3

Adistância focal sabemos que é 2c, a distância entre os dois focos:
2.2√3
Resposta: 4√3


2- Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2-16y2–400=0.
Resolução:
Temos:25x2 - 16y2=400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membros por 400. Fica então: x2 – y2 = 116 25
Portanto, a2=16 e b2=25. Daí, vem: a=4eb=5. Como c2=a2+b2, vem substituindo e efetuando que c=√41 . Portanto a excentricidade será igual a: e=c/a=√41/4=1,60
Resposta:1,60

3 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2–9y2=225.
Resolução:
Dividindo ambos os membros por 225,vem: Daí,vem que: a2=9eb2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.Portanto, c2=a2+b2=9+25=34 e entãoc=√34. Logo,a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c, será igual a 2√34.
Resposta: 2√34.

4- Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginário e da distância focal da hipérbole de equação 9x² - 16y² = 144
Resolução:
Vamos escrever a equação na forma padrão, dividindo todos os seus termos por 144:
9x² - 16y² = 144
144 144 144

X² -y² = 1
16 9


Neste cado, os vértices e os foco estão no eixo das abscissas. Temos, então:
a² = 16 b² = 9
a = 4 b = 3
Logo, c² = a² + b²
c² = 16 + 9
c² = 25
c² = 5
Portanto, A1A2 = 2a = 8
B1B2 = 2b = 6
C1C2 = 2c = 10

2.3 – Aplicações

A hipérbole é uma curva com doisramos e dois focos. A propriedade de reflexão da hipérbole é a seguinte: A partir de um ponto qualquer tracemos um segmento de reta dirigido a um dos focos da hipérbole. Este segmento encontra o correspondente ramo da hipérbole num ponto, e se a partir deste traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento, o segundo segmento passa pelo outro foco.

Esta...
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