Hiperbole

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Apolônio, um geômetra renomado, descobriu que, ao cortar-se um cone duplo de diferentes formas, obtinham-se diferentes lugares geométricos, denominados por ele cônicas. Uma delas é a hipérbole, que é gerada a partir do corte do cone por um plano paralelo ao eixo do mesmo. Como consequência disso, a hipérbole terá doisramos.
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Elementos da hipérbole e definição:
Para identificar os elementos da hipérbole, é necessário o conhecimento do teorema de Dandelin-Quetelet:
“A seção de um cone circular, por um plano tangente a uma esfera inscrita nesse cone, é uma cônica que tem foco no ponto de contato e para diretriz correspondente a interseção do plano com o plano da circunferênciade contato da esfera e do cone.”
A partir disso, admite-se que o plano secante corta as geratrizes das duas folhas da superfície cônica. Obtém-se então a cônica determinada hipérbole sobre o cone.
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Observando-se a figura, conclui-se que:

PF2 - PF1 = PG’ - PG = GG’ = BB’ = constante, pois são tangentes as mesmas esferas em um mesmo ponto.





Tem-se:

BB’ =A1B’ - A1B = A1F2 - A1F1



pois

A1B = A1F1 e A1B’ = A1F2



Pois são tangentes a uma esfera por um mesmo ponto. Além disso,

BB’ = CC’ = A2C - A2C’ = A2F1 - A2F2



pois

A2C = A2F1 e A2C’ = A2F2



De onde

BB’ = CC’ = A1F2 - A1F1 = A2F1 - A2F2



Além disso,

BB’ = CC’ = A2C - A2C’ = A2F1 - A2F2



Logo, conclui-se que:

A1F1 = A2F2 e A1F2 = A2F1



Poissão segmentos iguais de sinais contrários. E, finalmente,

A2F1 - A1F2 = A1F2 - A2F2 = BB’ = A1A2



portanto,

PF2 - PF1 = A1A2





As interseções dos planos paralelos BC e B’C’ com o plano secante são as retas diretrizes da hipérbole. Isso apresenta uma relação entre os pontos da hipérbole, a qual
pode ser definida como segue:

“Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos paraos quais a diferença das distâncias a dois pontos distintos fixados é em valor absoluto igual a uma constante, menor que a distância entre estes pontos fixados.”
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O segmento A1A2 será o eixo real (2a), F1 e F2 serão os focos e A1 e A2 os vértices da hipérbole. Tomando-se a perpendicular ao eixo real A1A2 que passa pelo centro da hipérbole, e construindo-se o triângulo retângulo A2B2O,cuja hipotenusa mede c e o cateto OA2 mede a, tem-se os segmentos B2O = B1O = b, sendo B1B2 o eixo imaginário da hipérbole. A mesma propriedade do eixo imaginário pode ser conseguida usando-se o vértice A116 e construindo-se o triângulo retângulo A1B2O.
Portanto, na hipérbole vale a seguinte propriedade:
c² = a² + b²

As circunferências diretrizes da hipérbole têm raio 2a e centro em um de seusfocos.
Seja γ1 uma circunferência de centro F1 e raio 2a. Tomando-se um raio qualquer F1S2 de γ1, que corta um dos ramos da hipérbole em P, tem-se:

PF1 – PS2 = 2a (definição de circunferência diretriz)
PF1 – PF2 = 2a (definição de hipérbole)

logo,
PS2 = PF2
o que sugere o traçado de uma circunferência de centro P e raio PS2 = PF2, que passa por F2 e é tangente externamente à γ1.Analogamente, prova-se que P’S2’ = P’F2, onde P’ é um ponto pertencente ao outro
ramo da hipérbole, traçando-se uma circunferência de centro P’ e raio P’S2’ = P’F2, que passa pelo foco F2 e é tangente internamente à γ1
Uma nova definição de hipérbole surge como conseqüência da anterior:

DEFINIÇÃO: Constitui o lugar geométrico dos centros (P e P’) das circunferências tangentes internamente (umramo) e externamente (outro ramo) a uma circunferência dada (a circunferência diretriz) e que passam, ainda, por um ponto externo à circunferência dada (F2).


-Outros elementos:
* Excentricidade: É a medida de achatamento da hipérbole. Esta é obtida através do quociente entre a semi-distancia focal e o semi-eixo transverso, ou seja, c/a. Como c > a, e > 1.
* Assíntotas: São retas que passam...
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