hidrologia aplicada

Universidade Nove de Julho – Uninove
Curso: Engenharia - Disciplina: Cálculo Numérico - Profº Edson A. Cardoso
Método de Newton-Raphson

Quando temos uma equação qualquer diferente das equações de grau 1 ou 2, fica sempre mais difícil o cálculo de suas raízes. Inúmeros problemas da engenharia são representados por funções e equações deste tipo, e ao invés de raízes exatas, na maioria das vezes temos raízes do tipo transcendentais.
A maneira de se encontrar tais raízes é a utilização de métodos iterativos, conseguindo-se uma boa aproximação do valor real da raiz da equação.
Por exemplo, dada a função abaixo, a raiz x’ pertence ao intervalo a e b. Dizemos que.
a) Pelo gráfico podemos deduzir que:
Sempre isto ocorrer, a raiz estará dentro do intervalo escolhido.

f(x)

Exemplo:
- dada a equação: x2 – 4 = 0, temos x’ = 2 e x” = – 2.
- se escolhêssemos o intervalo ] 0 , 1 [, ficaria assim:
- f(0) = – 4 e f(1) = – 3  (-4) . (– 3) > 0, logo, a raiz NÃO está dentro deste intervalo.
- se escolhêssemos o intervalo ] 1 , 3 [, temos: f(1) = – 3 e f(3) = 5, (– 3).(5) < 0, logo, a raiz está entre 1 e 3.
Desta maneira, diminuímos o intervalo onde faremos as iterações e a chance de sucesso será maior.
Exemplo:
Dada a equação , encontre a(s) raízes: x – 4
– 2
– 1
0
1
3
4 x2 + x – 6
+ 6
– 4
– 6
– 6
– 4
+ 6
+ 14

Pelos resultados podemos concluir os intervalos onde estão as raízes são: ]– 4,– 2[ e ]1,3[.
b) A raiz x0 será definida e única se a derivada f’(x) existir e preservar o sinal no intervalo (a,b), isto é, se ou .
, ] – 2, 2 [ x – 1
+ 1,5

2x – 1
– 0,5
1,83
2x.ln 2
0,35
1,96 manteve o sinal
Para se calcular ama raiz, duas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a,b], o menor possível, que contenha uma e